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| Aufgabe | Für [mm] $\alpha\in(-\pi,\pi]$ [/mm] sei [mm] $S_{\alpha} [/mm] = [mm] \{z\in\IC|-\pi < Arg(z) \le \alpha\}$. [/mm] Sei außerdem [mm] $f:S_{\alpha}\to\IC$ [/mm] stetig mit [mm] $\lim_{|z|\to\infty, z\in S_{\alpha}}z*f(z) [/mm] = A$,
und $R > 0$ eine positive reelle Zahl. Definiere [mm] \phi_{R} [/mm] als den in [mm] S_{\alpha} [/mm] gelegenen Teil des mathematisch positiv durchlaufenen Kreises $|z| = R$. Zeige, dass dann gilt:
[mm] $\lim_{R\to\infty}\int_{\phi_{R}}f(z) [/mm] dz = [mm] i*(\alpha+\pi)*A$ [/mm] |
Hallo!
Bei obiger Aufgabe bräuchte ich einen Ansatz. Ich habe mal für [mm] \alpha\le [/mm] 0 versucht, den Weg zu formulieren: [mm] $\phi_{R}(t) [/mm] = [mm] R*e^{i*t}$ [/mm] mit [mm] $t\in[\alpha,0]$.
[/mm]
Für [mm] $\alpha [/mm] > 0$ muss es ja eher so aussehen: [mm] $\phi_{R}(t) [/mm] = [mm] R*e^{i*t}$ [/mm] mit [mm] $t\in(-\pi,\alpha]$
[/mm]
Allerdings muss ich ja nun irgendeinen Angriffspunkt für die Voraussetzung haben. Hat es etwas mit Mittelwert / Zwischenwertsätzen zu tun? Wenn ja, bin ich nicht darauf gekommen, wie ich sie anwenden kann. Was ich habe (für [mm] \alpha\le [/mm] 0 )
[mm] $\lim_{R\to\infty}\int_{\phi_{R}}f(z) [/mm] dz = [mm] \lim_{R\to\infty}\int_{\alpha}^{0}\frac{d}{dt}\left(F(\phi(t))\right) [/mm] dt = [mm] \lim_{R\to\infty}\Big[F(\phi(0)) [/mm] - [mm] F(\phi(\alpha))\Big] [/mm] = [mm] \lim_{R\to\infty}\Big[F(R) [/mm] - [mm] F(R*e^{i*\alpha})\Big] [/mm] $
Ich weiß außerdem, dass F stetig ist... Aber ich glaube, das nützt mir alles nichts.
Grüße,
Stefan
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:53 Di 18.05.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
du musst doch über [mm] f(\Phi(t))\Phi'dt [/mm] integrieren.
was dein [mm] F'(\Phi) [/mm] soll weiss ich nicht.
Gruss leduart
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 20:09 Di 18.05.2010 | | Autor: | steppenhahn |
Hallo,
> du musst doch über [mm]f(\Phi(t))\Phi'dt[/mm] integrieren.
> was dein [mm]F'(\Phi)[/mm] soll weiss ich nicht.
Es ist doch nach der Kettenregel:
[mm] $f(\phi(t))*\phi'(t) [/mm] = [mm] F'(\phi(t))*\phi'(t) [/mm] = [mm] \frac{d}{dt}F(\phi(t))$
[/mm]
Aber selbst wenn ich schreibe:
[mm] $\lim_{R\to \infty}\int_{\phi}f(z) [/mm] dz = [mm] \lim_{R\to \infty}\int_{\alpha}^{0}f(\phi(t))*\phi'(t) [/mm] dt = [mm] \lim_{R\to \infty}\int_{\alpha}^{0}f(R*e^{i*t})*R*i*e^{i*t} [/mm] dt$,
wie hilft mir das bei der Aufgabe weiter? Der Term im Integral hätte jetzt ja mit $z = [mm] R*e^{i*t}$ [/mm] die Form $f(z)*z*i$, aber nützt mir das was?
Grüße,
Stefan
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:53 Di 18.05.2010 | | Autor: | gfm |
> Für [mm]\alpha\in(-\pi,\pi][/mm] sei [mm]S_{\alpha} = \{z\in\IC|-\pi < Arg(z) \le \alpha\}[/mm].
> Sei außerdem [mm]f:S_{\alpha}\to\IC[/mm] stetig mit
> [mm]\lim_{|z|\to\infty, z\in S_{\alpha}}z*f(z) = A[/mm],
>
> und [mm]R > 0[/mm] eine positive reelle Zahl. Definiere [mm]\phi_{R}[/mm] als
> den in [mm]S_{\alpha}[/mm] gelegenen Teil des mathematisch positiv
> durchlaufenen Kreises [mm]|z| = R[/mm]. Zeige, dass dann gilt:
>
> [mm]\lim_{R\to\infty}\int_{\phi_{R}}f(z) dz = i*(\alpha+\pi)*A[/mm]
>
> Hallo!
>
> Bei obiger Aufgabe bräuchte ich einen Ansatz. Ich habe mal
> für [mm]\alpha\le[/mm] 0 versucht, den Weg zu formulieren:
> [mm]\phi_{R}(t) = R*e^{i*t}[/mm] mit [mm]t\in[\alpha,0][/mm].
>
> Für [mm]\alpha > 0[/mm] muss es ja eher so aussehen: [mm]\phi_{R}(t) = R*e^{i*t}[/mm]
> mit [mm]t\in(-\pi,\alpha][/mm]
>
> Allerdings muss ich ja nun irgendeinen Angriffspunkt für
> die Voraussetzung haben. Hat es etwas mit Mittelwert /
> Zwischenwertsätzen zu tun? Wenn ja, bin ich nicht darauf
> gekommen, wie ich sie anwenden kann. Was ich habe (für
> [mm]\alpha\le[/mm] 0 )
>
> [mm]\lim_{R\to\infty}\int_{\phi_{R}}f(z) dz = \lim_{R\to\infty}\int_{\alpha}^{0}\frac{d}{dt}\left(F(\phi(t))\right) dt = \lim_{R\to\infty}\Big[F(\phi(0)) - F(\phi(\alpha))\Big] = \lim_{R\to\infty}\Big[F(R) - F(R*e^{i*\alpha})\Big][/mm]
>
> Ich weiß außerdem, dass F stetig ist... Aber ich glaube,
> das nützt mir alles nichts.
Spontan fällt mir nur ein:
[mm] \limes_{R\to\infty}\int_{-\pi}^{\alpha}f(Re^{i\phi})iRe^{i\phi}d\phi=(?)\int_{-\pi}^{\alpha}\limes_{R\to\infty}f(Re^{i\phi})iRe^{i\phi}d\phi
[/mm]
[mm] =\int_{-\pi}^{\alpha}iAd\phi=iA(\alpha+\pi)
[/mm]
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Hallo gfm,
danke für deinen Hinweis!
Allerdings wüsste ich kein Argument, um Grenzwertbildung und Integration unter diesen Umständen zu vertauschen...
Grüße,
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:24 Di 18.05.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo Stefan!
> Allerdings wüsste ich kein Argument, um Grenzwertbildung
> und Integration unter diesen Umständen zu vertauschen...
Damit du Integration und Grenzwert vertauschen darfst, muss die Funktion unter dem Integral gleichmäßig bzgl der Integrationsvariablen konvergieren, also
[mm] \limes_{R\to\infty}f(Re^{i\phi})iRe^{i\phi} [/mm]
glm. bzgl [mm] $\phi$, [/mm] d.h.
[mm] \limes_{R\to\infty} \sup_{\phi\in(-\pi,\alpha]} |f(Re^{i\phi})Re^{i\phi} - A | = 0 [/mm].
Vergleiche das mit den Voraussetzungen, dass f stetig ist und dass
[mm] \limes_{|z|\to\infty, z\in S_{\alpha}}z\cdot{}f(z) = A [/mm]
oder anders geschrieben:
[mm] \limes_{\substack{R\to\infty\\\phi\in(-\pi,\alpha]} } |f(Re^{i\phi})Re^{i\phi} - A| = 0 [/mm] .
Viele Grüße
Rainer
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Hallo Rainer,
danke für deine Antwort!
> Hallo Stefan!
>
> > Allerdings wüsste ich kein Argument, um Grenzwertbildung
> > und Integration unter diesen Umständen zu vertauschen...
>
> Damit du Integration und Grenzwert vertauschen darfst, muss
> die Funktion unter dem Integral gleichmäßig bzgl der
> Integrationsvariablen konvergieren, also
>
> [mm]\limes_{R\to\infty}f(Re^{i\phi})iRe^{i\phi}[/mm]
>
> glm. bzgl [mm]\phi[/mm], d.h.
>
> [mm]\limes_{R\to\infty} \sup_{\phi\in(-\pi,\alpha]} |f(Re^{i\phi})Re^{i\phi} - A | = 0 [/mm].
>
> Vergleiche das mit den Voraussetzungen, dass f stetig ist
> und dass
>
> [mm]\limes_{|z|\to\infty, z\in S_{\alpha}}z\cdot{}f(z) = A [/mm]
>
> oder anders geschrieben:
>
> [mm]\limes_{\substack{R\to\infty\\\phi\in(-\pi,\alpha]} } |f(Re^{i\phi})Re^{i\phi} - A| = 0[/mm]
Mmhhh... Aufgrund der Voraussetzung wissen wir:
[mm] $\limes_{R\to\infty} |f(Re^{i\phi})Re^{i\phi} [/mm] - A| = 0$
für alle [mm] \phi\in(-\pi,\alpha], [/mm] also insbesondere
[mm] $\sup_{\phi\in(-\pi,\alpha]}\limes_{R\to\infty} |f(Re^{i\phi})Re^{i\phi} [/mm] - A| = 0$
Darf ich nun Limes und Supremum vertauschen?:
[mm] $\limes_{R\to\infty} \sup_{\phi\in(-\pi,\alpha]} |f(Re^{i\phi})Re^{i\phi} [/mm] - A | = 0$
Warum? Weil f stetig ist?
Grüße,
Stefan
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:41 Mi 19.05.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo Stefan!
> Hallo Rainer,
>
> danke für deine Antwort!
>
> > Hallo Stefan!
> >
> > > Allerdings wüsste ich kein Argument, um Grenzwertbildung
> > > und Integration unter diesen Umständen zu vertauschen...
> >
> > Damit du Integration und Grenzwert vertauschen darfst, muss
> > die Funktion unter dem Integral gleichmäßig bzgl der
> > Integrationsvariablen konvergieren, also
> >
> > [mm]\limes_{R\to\infty}f(Re^{i\phi})iRe^{i\phi}[/mm]
> >
> > glm. bzgl [mm]\phi[/mm], d.h.
> >
> > [mm]\limes_{R\to\infty} \sup_{\phi\in(-\pi,\alpha]} |f(Re^{i\phi})Re^{i\phi} - A | = 0 [/mm].
>
> >
> > Vergleiche das mit den Voraussetzungen, dass f stetig ist
> > und dass
> >
> > [mm]\limes_{|z|\to\infty, z\in S_{\alpha}}z\cdot{}f(z) = A[/mm]
> >
>
> > oder anders geschrieben:
> >
> > [mm]\limes_{\substack{R\to\infty\\\phi\in(-\pi,\alpha]} } |f(Re^{i\phi})Re^{i\phi} - A| = 0[/mm]
>
> Mmhhh... Aufgrund der Voraussetzung wissen wir:
>
> [mm]\limes_{R\to\infty} |f(Re^{i\phi})Re^{i\phi} - A| = 0[/mm]
>
> für alle [mm]\phi\in(-\pi,\alpha],[/mm] also insbesondere
>
> [mm]\sup_{\phi\in(-\pi,\alpha]}\limes_{R\to\infty} |f(Re^{i\phi})Re^{i\phi} - A| = 0[/mm]
>
> Darf ich nun Limes und Supremum vertauschen?:
>
> [mm]\limes_{R\to\infty} \sup_{\phi\in(-\pi,\alpha]} |f(Re^{i\phi})Re^{i\phi} - A | = 0[/mm]
>
> Warum? Weil f stetig ist?
Ich muss gestehen, ich bin mir gar nicht mehr sicher, dass man das folgern kann.
Aber geht es nicht auch mit dem Mittelwertsatz der Integralrechnung: da f stetig ist, gibt es einen Wert [mm] $\xi \in (-\pi,\alpha]$, [/mm] sodass
[mm] \integral_{-\pi}^\alpha} f(Re^{i\phi}) iR e^{i\phi} d\phi = (\alpha+\pi) f(Re^{i\xi}) iR e^{i\xi} [/mm] ?
Viele Grüße
Rainer
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:09 Mi 19.05.2010 | | Autor: | kunzmaniac |
Hallo,
gilt der Mittelwertsatz bei stetigen Funktionen nicht nur auf abgeschlossenen Intervallen? Wir wissen aber nicht ob $f$ auch auf [mm] $[-\pi,\alpha]$ [/mm] stetig ist, selbst wenn könnte ja dummerweise [mm] $\xi=-\pi$ [/mm] sein, und damit wäre die Konvergenz für [mm] $R\rightarrow \infty$ [/mm] nicht mehr gesichert.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:43 Di 18.05.2010 | | Autor: | gfm |
> Hallo gfm,
>
> danke für deinen Hinweis!
> Allerdings wüsste ich kein Argument, um Grenzwertbildung
> und Integration unter diesen Umständen zu vertauschen...
>
> Grüße,
> Stefan
Voraussetzung ist ja, dass [mm]zf(z) =A+q(z)[/mm] mit [mm]|q(z)|[/mm] beliebig klein, wenn nur [mm]|z|[/mm] hinreichend groß ist (und [mm]z\in S_{\alpha}[/mm]):
[mm]\int_{-\pi}^{\alpha}f(Re^{i\phi})iRe^{i\phi}d\phi=\int_{-\pi}^{\alpha}i(A+q(Re^{i\phi})d\phi=iA(\alpha+\pi)+i\int_{-\pi}^{\alpha}q(Re^{i\phi})d\phi[/mm]
Reicht das nicht?
LG
gfm
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Hallo,
mir ist nicht ganz klar, wie man argumentieren müsste um den Grenzwertprozess mit der Integration zu vertauschen.
setzt man für $R$ nur natürliche Zahlen ein, bekommt man eine Folge stetiger Funktionen,
[mm] $f_n:[-\pi,\alpha]\rightarrow \IC, [/mm] \ \ \ durch \ \ \ [mm] f_n(t) [/mm] = [mm] f(n*e^{i*t})*i*n*e^{i*t}$
[/mm]
deren Realteil bzw. Imaginärteil gegen den Realteil bzw. Imaginärteil von $iA$ konvergieren, beide sind über [mm] $[-\pi,\alpha]$ [/mm] integrierbar. Kann man vielleicht mit $A$ eine integrierbare Majorante basteln um Lebesgue anzuwenden?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:12 Fr 21.05.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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