Wegintegral berechnen < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Berechnen Sie die Linienintegrale [mm] \int_{A}^{B} \vec F\, d \vec r [/mm]
für die Anfangs- und Endpunkte A=(0,0) und B=(2,1) mit [mm] \vec F = (F_x, F_y) = (2xy^2, 2x^2y) [/mm] auf den Wegen
(i) (0,0) [mm] \rightarrow [/mm] (2,0) [mm] \rightarrow [/mm] (2,1) und
(ii) (0,0) [mm] \rightarrow [/mm] (2,1). |
Ich berechne die Aufgabe über [mm] \int_{A}^{B} \vec F( \vec r(t))* \bruch {d \vec r } {dt} (t) \,dt [/mm].
(i) Ich wählte zur Parametrisierung je: [mm] \vec r (t) = t \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm] (erster Schritt), anschließend [mm] \vec r (t) = t \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} [/mm] (zweiter Schritt).
ich erhalte beim ersten Schritt:
[mm] \int_{0}^{1} \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} 2*2t*0 \\ 2*4t^2*0 \end{pmatrix} \, dt = \int_{0}^{1} 0 \,dt [/mm]
und beim zweiten:
[mm] \int_{0}^{1} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} 2*0*4t^2 \\ 2*0*2t \end{pmatrix} \, dt = \int_{0}^{1} 0 \,dt [/mm]
kann das denn sein? schließlich ist es kein geschlossener Weg! Wo liegt der Fehler? eine Vermutung wäre, was aber vielleicht nicht "mathematisch korrekt" ist: F hängt mit seinen Parametern jeweils von x UND y ab, deswegen ist es gleich null, wenn der Weg geradlinig entlang der Achsen verläuft....? kann man das grob so sagen?
(ii) ich wählte : [mm] \vec r (t) = t \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} [/mm]
Man erhält: [mm] \int_{0}^{2} \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} 4t^3 \\ 8t^3 \end{pmatrix} \, dt = \int_{0}^{2} (16t^3) \,dt = \bruch {1} {4} * 16t^4 = 64 [/mm]
Ist diese Zweite Aufgabe soweit richtig (besonders die Wahl der Grenzen) ?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:23 Mi 21.04.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
Erstmal herzlich ![[willkommenvh]](/images/smileys/willkommenvh.png "[willkommenvh]")
> Berechnen Sie die Linienintegrale [mm]\int_{A}^{B} \vec F\, d \vec r[/mm]
>
> für die Anfangs- und Endpunkte A=(0,0) und B=(2,1) mit
> [mm]\vec F = (F_x, F_y) = (2xy^2, 2x^2y)[/mm] auf den Wegen
> (i) (0,0) [mm]\rightarrow[/mm] (2,0) [mm]\rightarrow[/mm] (2,1) und
> (ii) (0,0) [mm]\rightarrow[/mm] (2,1).
> Ich berechne die Aufgabe über [mm]\int_{A}^{B} \vec F( \vec r(t))* \bruch {d \vec r } {dt} (t) \,dt [/mm].
>
> (i) Ich wählte zur Parametrisierung je: [mm]\vec r (t) = t \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm]
> (erster Schritt),
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") aber du musst dazu auch noch das Intervall für t angeben: [mm] $0\le t\le [/mm] 1$.
> anschließend [mm]\vec r (t) = t \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}[/mm]
> (zweiter Schritt).
Das ist nicht richtig, denn dieser Wer führt nicht von (2,0) nach (2,1), sondern von (0,0) nach (0,1).
Du musst also so parametrisieren:
[mm] \vec r (t) = \vektor{2\\0} + t \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}[/mm] , [mm] $0\le t\le [/mm] 1$.
> ich erhalte beim ersten Schritt:
>
> [mm]\int_{0}^{1} \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} 2*2t*0 \\ 2*4t^2*0 \end{pmatrix} \, dt = \int_{0}^{1} 0 \,dt[/mm]
> und beim zweiten:
>
> [mm]\int_{0}^{1} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} 2*0*4t^2 \\ 2*0*2t \end{pmatrix} \, dt = \int_{0}^{1} 0 \,dt[/mm]
Da dein Weg nicht stimmt,ist auch dieser Teil falsch.
> kann das denn sein? schließlich ist es kein geschlossener
> Weg! Wo liegt der Fehler? eine Vermutung wäre, was aber
> vielleicht nicht "mathematisch korrekt" ist: F hängt mit
> seinen Parametern jeweils von x UND y ab, deswegen ist es
> gleich null, wenn der Weg geradlinig entlang der Achsen
> verläuft....? kann man das grob so sagen?
Da begehst du einen Denkfehler, indem du eine gültige Folgerung einfach umdrehst. Die Aussage ist:
Weg geschlossen [mm] $\implies$ [/mm] Wegintegral ist 0
Die Umkehrung ist falsch, wie das Beispiel $F=(0,1)$ entlang des Weges(0,0) -> (1,0) zeigt: Hier steht F immer senkrecht auf dem Weg, also ist der Ausdruck [mm] $\vec [/mm] F( [mm] \vec [/mm] r(t))* [mm] \bruch [/mm] {d [mm] \vec [/mm] r } {dt} $ Null.
> (ii) ich wählte : [mm]\vec r (t) = t \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}[/mm]
>
> Man erhält: [mm]\int_{0}^{2} \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} 4t^3 \\ 8t^3 \end{pmatrix} \, dt = \int_{0}^{2} (16t^3) \,dt = \bruch {1} {4} * 16t^4 = 64 [/mm]
Vorsicht, du darfst die Grenzen im vorletzten Schritt nicht weglassen, sondern musst schreiben:
... [mm] = \int_{0}^{2} (16t^3) \,dt = \bruch {1} {4} * 16t^4 \Bigr|_0^2 = 64 [/mm] .
>
> Ist diese Zweite Aufgabe soweit richtig (besonders die Wahl
> der Grenzen) ?
Richtig bis auf die Wahl der Grenzen. Bei Einsetzen der oberen Grenze in den Weg muss der Endpunkt (2,1) herauskommen. Für welchen Wert von t ist das bei [mm]\vec r (t) = t \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}[/mm] der Fall?
Viele Grüße
Rainer
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achso, gut, ich erhalte nun bei i), Teil 2:
[mm] \int_{0}^{1} \vektor{0 \\ 1} * \vektor{4t^2 \\ 8t} \,dt = \int_{0}^{1} 8t \,dt = 4t^2|_{0}^{1} = 4[/mm]
und bei ii)
ich dachte, es hängt vom gewählten Wert für x ab, aber wenn es von dem Wert für t abhängt, ist die Grenze natürlich [mm] \int_{0}^{1}[/mm] und ich erhalte im Endeffekt ebenfalls den Wert 4, wie ich es eigentlich erhoffte (und in der Physik auch so gelernt hatte ;) )
VIELEN DANK
Wenn du noch etwas Zeit hast... wieso genau ist der Wert entlang der x-Achse bei i) teil 1 = 0 ? hast du da eine Erklärung, was das bedeutet?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:57 Mi 21.04.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
es gibt mehrere Möglichkeiten waeunm das Wegintegral über ne fkt 0 sein kann.
1. F steht senkrecht auf dem Weg, in jedem Punkt, dann ist [mm] \vec{F}\vec{dr}dr=0 [/mm] oder F=0 auf dem ganzen Weg, oder auf dem Weg ist Fdr mal positiv und mal negativ, so dass sich die Teile aufheben. Bei dir war einfach F=0
Gruss leduart
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