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| Aufgabe | Berechne (a > 1):
1) [mm] $\int_{|z-a| = a}\frac{z}{z^{4}-1} [/mm] dz$
2) [mm] $\int_{|z| = 2}z^{2}*e^{\frac{z+1}{z-1}} [/mm] dz$ |
Hallo!
Wir hatten jetzt den Cauchy'schen Integralsatz, die Cauchy'sche Integralformel, den Satz von Liouville. Trotzdem weiß ich nicht so recht, wie ich den obigen Integralen zu Leibe rücken soll.
Bei 1):
Ich habe zuerst eine Partialbruchzerlegung versucht. Dabei kam heraus:
[mm] $\int_{|z-a| = a}\frac{z}{z^{4}-1} [/mm] dz = [mm] \frac{1}{4}*\int_{|z-a| = a}\frac{1}{z-1}+\frac{1}{z+1}-\frac{1}{z-i}-\frac{1}{z+i}dz$.
[/mm]
Ich habe mir nun überlegt, dass die Funktionen mit Ausnahme von [mm] \frac{1}{z-1} [/mm] auf der Menge [mm] \{z\in\IC:|z-a|=a\} [/mm] holomorph sind, diese würden also beim Integrieren über einen geschlossenen Weg wegfallen. Es bleibt:
[mm] $\frac{1}{4}*\int_{|z-a| = a}\frac{1}{z-1} [/mm] dz$.
Wie kann ich jetzt weiter vorgehen? "Windungszahlen" haben wir aber noch nicht gehabt...
Zu 2):
Hier finde ich keinen Ansatz. Der zweite Faktor des Integranden ist ja nur holomorph auf $|z| [mm] \le [/mm] 1$? Ich denke, ich muss irgendwie die Cauchy'sche Integralformel für Ableitungen benutzen:
f auf [mm] \overline{U_{r}(z_{0})} [/mm] holomorph --> [mm] $f^{(n)}(z) [/mm] = [mm] \frac{n!}{2\pi*i}*\int_{|z-z_{0}|=r}\frac{f(\omega)}{(\omega-z)^{n+1}}d\omega$ [/mm] für alle [mm] $z\in U_{r}(z_{0})$.
[/mm]
Aber wie muss ich f wählen?
Vielen Dank für Eure Hilfe!
Grüße,
Stefan
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:43 Mi 02.06.2010 | | Autor: | Lippel |
Hallo,
ich habe leider nur eine Idee zum ersten Integral.
Was du gemacht hast sieht schonmal richtig aus soweit.
Zur Begründung, dass die drei Integrale 0 werden ist vielleicht noch hinzuzufügen, dass der komplette Integrationsweg jeweils in einem Sterngebiet liegt, sodass du den Cauchyschen Integralsatz anwenden kannst.
Zum letzten Integral [mm] $\int_{|z-a| = a}\frac{1}{z-1} [/mm] dz $.
Die Berechung kannst du dir sehr erleichtern, indem du den Integrationsweg um den Pol veränderst. Man kann nämlich, statt auf dem Weg mit dem Radius a um den Punkt a zu integrieren, beispielsweise über einen Kreis mit dem Radius 1 um die Polstelle 1 integrieren. Dann wird das Integral sehr einfach und es ergibt sich das erwartete Ergebnis [mm] $2\pi*i$. [/mm] Um zu zeigen, dass man den Integrationsweg auf diese Weise verändern darf, schaue dir mal den Standardbeweis zur Cauchyschen Integralformel an.
Grüße, Lippel
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Hallo Lippel,
danke für deine Antwort!
Das werde ich mir gleich mal anschauen 
Grüße,
Stefan
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:57 Do 03.06.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo Lippel!
Deine Antwort ist nicht falsch, aber die Deformation des Integrationswegs bringt keinen Vorteil, da die Cauchysche Integralformel sofort eine Antwort liefert: Setze die konstante Funktion $f(z)=1$ in
[mm] f(1) = \bruch{1}{2\pi i}\integral_{|z-a|=a} \bruch{f(z)}{z-1} [/mm]
ein.
Viele Grüße
Rainer
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:13 Do 03.06.2010 | | Autor: | Lippel |
Hallo Rainer,
das ist in der Tat deutlich eleganter. Danke für den Hinweis.
Grüße, Lippel
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Hi Steppenhahn!
ich habe die Aufgaben auch noch nicht ganz, bei der 1. würde ich aber die Cauchysche Integralformel verwenden - du hast die Polstelle, die Probleme macht ja schon erkannt (Skizze!), der Rest ist doch dann auf einem geeigneten offenen Gebiet holomorph...
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:42 Do 03.06.2010 | | Autor: | kevin314 |
ich bekomme so etwas wie $i*Pi/2$ heraus (Modulo Rechenfehler, wie immer)...
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:14 Do 03.06.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo Stefan!
> 1) [mm]\int_{|z-a| = a}\frac{z}{z^{4}-1} dz[/mm]
> 2) [mm]\int_{|z| = 2}z^{2}*e^{\frac{z+1}{z-1}} dz[/mm]
>
> Hallo!
>
> Wir hatten jetzt den Cauchy'schen Integralsatz, die
> Cauchy'sche Integralformel, den Satz von Liouville.
> Trotzdem weiß ich nicht so recht, wie ich den obigen
> Integralen zu Leibe rücken soll.
>
> Bei 1):
> Ich habe zuerst eine Partialbruchzerlegung versucht. Dabei
> kam heraus:
>
> [mm]\int_{|z-a| = a}\frac{z}{z^{4}-1} dz = \frac{1}{4}*\int_{|z-a| = a}\frac{1}{z-1}+\frac{1}{z+1}-\frac{1}{z-i}-\frac{1}{z+i}dz[/mm].
>
> Ich habe mir nun überlegt, dass die Funktionen mit
> Ausnahme von [mm]\frac{1}{z-1}[/mm] auf der Menge
> [mm]\{z\in\IC:|z-a|=a\}[/mm] holomorph sind, diese würden also beim
> Integrieren über einen geschlossenen Weg wegfallen. Es
> bleibt:
>
> [mm]\frac{1}{4}*\int_{|z-a| = a}\frac{1}{z-1} dz[/mm].
>
> Wie kann ich jetzt weiter vorgehen? "Windungszahlen" haben
> wir aber noch nicht gehabt...
Siehe die anderen Antworten.
>
> Zu 2):
> Hier finde ich keinen Ansatz. Der zweite Faktor des
> Integranden ist ja nur holomorph auf [mm]|z| \le 1[/mm]? Ich denke,
> ich muss irgendwie die Cauchy'sche Integralformel für
> Ableitungen benutzen:
>
> f auf [mm]\overline{U_{r}(z_{0})}[/mm] holomorph --> [mm]f^{(n)}(z) = \frac{n!}{2\pi*i}*\int_{|z-z_{0}|=r}\frac{f(\omega)}{(\omega-z)^{n+1}}d\omega[/mm]
> für alle [mm]z\in U_{r}(z_{0})[/mm].
Dann integrierst du aber über einen anderen Weg, von dem die wesentliche Singularität des Integranden bei $z=1$ nicht umschlossen wird. Vereinche zunächst de
Lösungsidee:
1. Vereinfache zunächst den Exponenten durch Polynomdivision: [mm]\bruch{z+1}{z-1} = 2-\bruch{1}{z-1}[/mm].
2. Nach dem Cauchyschen Integralsatz kannst du statt über den Kreis vom Radius 2 um z=0 auch über den Kreis vom Radius 2 um z=1 integrieren. Dann machst du die Substitution [mm] $z-1\to [/mm] z$. Der neue Integrationsweg ist wieder der Kreis vom Radius 2 um 0, aber der Exponent ist nun $-1/z$.
3. Nun substituiere $1/z [mm] \to [/mm] z$. Der neue Integrationsweg ist ein Kreis vom Radius $1/2$ um $z=0$. wobei du die Durchlaufrichtung beachten musst.
Viele Grüße
Rainer
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| Status: |
(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 14:42 Do 03.06.2010 | | Autor: | kevin314 |
Hallo,
ich glaube $ [mm] \bruch{z+1}{z-1} [/mm] = [mm] 2-\bruch{1}{z-1} [/mm] $ stimmt nicht ganz oder? Es ist doch
[mm] $2-\bruch{1}{z-1} [/mm] = [mm] \bruch{2*(z-1)-1}{z-1} \neq \bruch{z+1}{z-1}$ [/mm] durch einfaches Erweitern.
Aber man könnte ganz ähnlich vorgehen mit:
[mm] $\bruch{z+1}{z-1}=\bruch{2}{z-1}+1$. [/mm] (im Zähler +1, -1)
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:35 Do 03.06.2010 | | Autor: | Lippel |
> Hallo Stefan!
>
> > 1) [mm]\int_{|z-a| = a}\frac{z}{z^{4}-1} dz[/mm]
> > 2) [mm]\int_{|z| = 2}z^{2}*e^{\frac{z+1}{z-1}} dz[/mm]
>
> >
> > Hallo!
> >
> > Wir hatten jetzt den Cauchy'schen Integralsatz, die
> > Cauchy'sche Integralformel, den Satz von Liouville.
> > Trotzdem weiß ich nicht so recht, wie ich den obigen
> > Integralen zu Leibe rücken soll.
> >
> > Bei 1):
> > Ich habe zuerst eine Partialbruchzerlegung versucht.
> Dabei
> > kam heraus:
> >
> > [mm]\int_{|z-a| = a}\frac{z}{z^{4}-1} dz = \frac{1}{4}*\int_{|z-a| = a}\frac{1}{z-1}+\frac{1}{z+1}-\frac{1}{z-i}-\frac{1}{z+i}dz[/mm].
>
> >
> > Ich habe mir nun überlegt, dass die Funktionen mit
> > Ausnahme von [mm]\frac{1}{z-1}[/mm] auf der Menge
> > [mm]\{z\in\IC:|z-a|=a\}[/mm] holomorph sind, diese würden also beim
> > Integrieren über einen geschlossenen Weg wegfallen. Es
> > bleibt:
> >
> > [mm]\frac{1}{4}*\int_{|z-a| = a}\frac{1}{z-1} dz[/mm].
> >
> > Wie kann ich jetzt weiter vorgehen? "Windungszahlen" haben
> > wir aber noch nicht gehabt...
>
> Siehe die anderen Antworten.
>
> >
> > Zu 2):
> > Hier finde ich keinen Ansatz. Der zweite Faktor des
> > Integranden ist ja nur holomorph auf [mm]|z| \le 1[/mm]? Ich denke,
> > ich muss irgendwie die Cauchy'sche Integralformel für
> > Ableitungen benutzen:
> >
> > f auf [mm]\overline{U_{r}(z_{0})}[/mm] holomorph --> [mm]f^{(n)}(z) = \frac{n!}{2\pi*i}*\int_{|z-z_{0}|=r}\frac{f(\omega)}{(\omega-z)^{n+1}}d\omega[/mm]
> > für alle [mm]z\in U_{r}(z_{0})[/mm].
>
> Dann integrierst du aber über einen anderen Weg, von dem
> die wesentliche Singularität des Integranden bei [mm]z=1[/mm] nicht
> umschlossen wird. Vereinche zunächst de
>
> Lösungsidee:
> 1. Vereinfache zunächst den Exponenten durch
> Polynomdivision: [mm]\bruch{z+1}{z-1} = 2-\bruch{1}{z-1}[/mm].
>
Wie Kevin schon bemerkt hat, ist hier ein kleiner Fehler, aber ich versuche die Lösung mal analog zum Vorschlag nachzuvollziehn, was mir leider nicht gelingt. Deshalb hier soweit wie ich gekommen bin:
[mm]\bruch{z+1}{z-1} = 1+\bruch{2}{z-1}[/mm]
> 2. Nach dem Cauchyschen Integralsatz kannst du statt über
> den Kreis vom Radius 2 um z=0 auch über den Kreis vom
> Radius 2 um z=1 integrieren. Dann machst du die
> Substitution [mm]z-1\to z[/mm]. Der neue Integrationsweg ist wieder
> der Kreis vom Radius 2 um 0, aber der Exponent ist nun
> [mm]-1/z[/mm].
Ich integriere statt um z=0 um z=1 und erhalte somit:
[mm]\int_{|z-1| = 2}z^{2}*e^{1+\frac{2}{z-1}} dz[/mm]
Ich substituiere: [mm]z-1\to z[/mm] und erhalte so:
[mm]\int_{|z| = 2}(z+1)^{2}*e^{1+\frac{2}{z}} dz[/mm]
>
> 3. Nun substituiere [mm]1/z \to z[/mm]. Der neue Integrationsweg ist
> ein Kreis vom Radius [mm]1/2[/mm] um [mm]z=0[/mm]. wobei du die
> Durchlaufrichtung beachten musst.
Nun sustituiere ich [mm]\frac{2}{z}\to z[/mm]:
[mm]\int_{|z| = 1}(\frac{2}{z}+1)^{2}*e^{1+z}} dz[/mm]
Warum muss ich hier auf die Durchlaufrichtung achten?
Nun kann ich noch die Substitution [mm]1+z\to z[/mm] ausführen:
[mm]\int_{|z-1| = 1}(\frac{z+1}{z-1})^{2}*e^{z}} dz[/mm]
Aber hier komme ich nicht weiter. Wo sind meine Fehler oder wie kann ich nun weiter machen?
>
> Viele Grüße
> Rainer
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Hey,
ich habs auch noch nicht ganz, aber für das "Problem" mit der Durchlaufrichtung muss Du Dir eine Skizze Zeichnen, dann siehst Du, dass der innere Kreis gerade entgegengesetzt zum äußeren durchlaufen wird, ob man auch mit Radius 2 um 1 integrien kann weiß ich nicht genau, müsste auch gehen. Ich versuchs mit Radius 1, dann liegt der Kreis vollständig im äußeren und das Bild wird schöner ;)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:55 Do 03.06.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> > Hallo Stefan!
> >
> > > 1) [mm]\int_{|z-a| = a}\frac{z}{z^{4}-1} dz[/mm]
> > > 2)
> [mm]\int_{|z| = 2}z^{2}*e^{\frac{z+1}{z-1}} dz[/mm]
> >
> > >
> > > Hallo!
> > >
> > > Wir hatten jetzt den Cauchy'schen Integralsatz, die
> > > Cauchy'sche Integralformel, den Satz von Liouville.
> > > Trotzdem weiß ich nicht so recht, wie ich den obigen
> > > Integralen zu Leibe rücken soll.
> > >
> > > Bei 1):
> > > Ich habe zuerst eine Partialbruchzerlegung versucht.
> > Dabei
> > > kam heraus:
> > >
> > > [mm]\int_{|z-a| = a}\frac{z}{z^{4}-1} dz = \frac{1}{4}*\int_{|z-a| = a}\frac{1}{z-1}+\frac{1}{z+1}-\frac{1}{z-i}-\frac{1}{z+i}dz[/mm].
>
> >
> > >
> > > Ich habe mir nun überlegt, dass die Funktionen mit
> > > Ausnahme von [mm]\frac{1}{z-1}[/mm] auf der Menge
> > > [mm]\{z\in\IC:|z-a|=a\}[/mm] holomorph sind, diese würden also beim
> > > Integrieren über einen geschlossenen Weg wegfallen. Es
> > > bleibt:
> > >
> > > [mm]\frac{1}{4}*\int_{|z-a| = a}\frac{1}{z-1} dz[/mm].
> > >
> > > Wie kann ich jetzt weiter vorgehen? "Windungszahlen" haben
> > > wir aber noch nicht gehabt...
> >
> > Siehe die anderen Antworten.
> >
> > >
> > > Zu 2):
> > > Hier finde ich keinen Ansatz. Der zweite Faktor des
> > > Integranden ist ja nur holomorph auf [mm]|z| \le 1[/mm]? Ich denke,
> > > ich muss irgendwie die Cauchy'sche Integralformel für
> > > Ableitungen benutzen:
> > >
> > > f auf [mm]\overline{U_{r}(z_{0})}[/mm] holomorph --> [mm]f^{(n)}(z) = \frac{n!}{2\pi*i}*\int_{|z-z_{0}|=r}\frac{f(\omega)}{(\omega-z)^{n+1}}d\omega[/mm]
> > > für alle [mm]z\in U_{r}(z_{0})[/mm].
> >
> > Dann integrierst du aber über einen anderen Weg, von dem
> > die wesentliche Singularität des Integranden bei [mm]z=1[/mm] nicht
> > umschlossen wird. Vereinche zunächst de
> >
> > Lösungsidee:
> > 1. Vereinfache zunächst den Exponenten durch
> > Polynomdivision: [mm]\bruch{z+1}{z-1} = 2-\bruch{1}{z-1}[/mm].
> >
> Wie Kevin schon bemerkt hat, ist hier ein kleiner Fehler,
> aber ich versuche die Lösung mal analog zum Vorschlag
> nachzuvollziehn, was mir leider nicht gelingt. Deshalb hier
> soweit wie ich gekommen bin:
> [mm]\bruch{z+1}{z-1} = 1+\bruch{2}{z-1}[/mm]
>
> > 2. Nach dem Cauchyschen Integralsatz kannst du statt über
> > den Kreis vom Radius 2 um z=0 auch über den Kreis vom
> > Radius 2 um z=1 integrieren. Dann machst du die
> > Substitution [mm]z-1\to z[/mm]. Der neue Integrationsweg ist wieder
> > der Kreis vom Radius 2 um 0, aber der Exponent ist nun
> > [mm]-1/z[/mm].
>
> Ich integriere statt um z=0 um z=1 und erhalte somit:
> [mm]\int_{|z-1| = 2}z^{2}*e^{1+\frac{2}{z-1}} dz[/mm]
>
> Ich substituiere: [mm]z-1\to z[/mm] und erhalte so:
> [mm]\int_{|z| = 2}(z+1)^{2}*e^{1+\frac{2}{z}} dz[/mm]
>
>
> >
> > 3. Nun substituiere [mm]1/z \to z[/mm]. Der neue Integrationsweg ist
> > ein Kreis vom Radius [mm]1/2[/mm] um [mm]z=0[/mm]. wobei du die
> > Durchlaufrichtung beachten musst.
>
> Nun sustituiere ich [mm]\frac{2}{z}\to z[/mm]:
> [mm]\int_{|z| = 1}(\frac{2}{z}+1)^{2}*e^{1+z}} dz[/mm]
Das ist falsch. Du musst doch beim Substituieren die Ableitung der Substitutionsfunktion einfügen, es fehlt also ein Faktor [mm] $\bruch{-2}{z^2}$.
[/mm]
> Warum muss ich hier auf die Durchlaufrichtung achten?
Weil eine Umkehrung der Durchlaufrichtugn ein zusätzliches Minuszeichen gibt.
> Nun kann ich noch die Substitution [mm]1+z\to z[/mm] ausführen:
Das ist unnötig kompliziert. Zieh den Faktor e doch einfach vor das Integral!
Viele Grüße
Rainer
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:31 Do 03.06.2010 | | Autor: | kevin314 |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Dann hätten wir doch (positiv orientiert) etwas wie
$ 2*e* \int_{|z| = 1}(\frac{2}{z}+1)^{2}\cdot\bruch{e^{z}}{z^2}} dz $
ich sehe nicht, wie man sowas integrieren kann.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:03 Do 03.06.2010 | | Autor: | Lippel |
> Dann hätten wir doch (positiv orientiert) etwas wie
> [mm]2*e* \int_{|z| = 1}(\frac{2}{z}+1)^{2}\cdot\bruch{e^{z}}{z^2}} dz[/mm]
>
> ich sehe nicht, wie man sowas integrieren kann.
Mein Ansatz wäre:
[mm]2*e* \int_{|z| = 1}(\frac{2}{z}+1)^{2}\cdot\bruch{e^{z}}{z^2}} dz = 2e*\int_{|z| = 1}(\frac{4}{z^4}+\frac{4}{z^3}+\frac{1}{z^2})*e^{z} dz = 2e*\int_{|z| = 1}(\frac{(2+z)^2}{z^4})*e^{z} dz [/mm]
Betrachte jetzt die Funktion [mm] f(z)=(2+z)^2*e^{z} [/mm], welche holomorph auf ganz $ [mm] \IC [/mm] $ ist. Für diese wenden wir die verallgemeinerte Cauchysche Integralformel an:
[mm]
f'''(0) = \frac{3!}{2\pi*i}\cdot\int_{|z|=1} \frac{f(w)}{w^4}dw [/mm],
also
[mm]
f'''(0) = \frac{3!}{2\pi*i}\cdot\int_{|z|=1}(\frac{(2+z)^2}{z^4})*e^{z} dz [/mm]
[mm]f'''(0)=22 \Rightarrow \int_{|z|=1}\frac{f(w)}{w^4}dw = \frac{22\pi*i}{3} \Rightarrow 2e*\int_{|z|=1}\frac{f(w)}{w^4}dw = \frac{44e\pi*i}{3}[/mm]
Das kommt mir nur leider als Ergebnis nicht unbedingt richtig vor :(
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Hallo Lippel,
dein Ansatz klingt in meinen Augen sehr gut, und das Ergebnis ist richtig.
Grüße,
Stefan
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:08 Do 03.06.2010 | | Autor: | Lippel |
Das hätte ich ja nun wirklich nicht erwartet ;)
Danke für den Hinweis, dann mach ich mir keinen Kopf mehr.
Viele Grüße, Lippel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:09 Do 03.06.2010 | | Autor: | kevin314 |
wie geil, nie wieder partielle integration!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:52 Do 03.06.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> > Dann hätten wir doch (positiv orientiert) etwas wie
> > [mm]2*e* \int_{|z| = 1}(\frac{2}{z}+1)^{2}\cdot\bruch{e^{z}}{z^2}} dz[/mm]
>
> >
> > ich sehe nicht, wie man sowas integrieren kann.
>
> Mein Ansatz wäre:
> [mm]2*e* \int_{|z| = 1}(\frac{2}{z}+1)^{2}\cdot\bruch{e^{z}}{z^2}} dz = 2e*\int_{|z| = 1}(\frac{4}{z^4}+\frac{4}{z^3}+\frac{1}{z^2})*e^{z} dz = 2e*\int_{|z| = 1}(\frac{(2+z)^2}{z^4})*e^{z} dz[/mm]
>
> Betrachte jetzt die Funktion [mm]f(z)=(2+z)^2*e^{z} [/mm], welche
> holomorph auf ganz [mm]\IC[/mm] ist. Für diese wenden wir die
> verallgemeinerte Cauchysche Integralformel an:
> [mm]
f'''(0) = \frac{3!}{2\pi*i}\cdot\int_{|z|=1} \frac{f(w)}{w^4}dw [/mm],
> also
> [mm]
f'''(0) = \frac{3!}{2\pi*i}\cdot\int_{|z|=1}(\frac{(2+z)^2}{z^4})*e^{z} dz[/mm]
>
> [mm]f'''(0)=22 \Rightarrow \int_{|z|=1}\frac{f(w)}{w^4}dw = \frac{22\pi*i}{3} \Rightarrow 2e*\int_{|z|=1}\frac{f(w)}{w^4}dw = \frac{44e\pi*i}{3}[/mm]
>
> Das kommt mir nur leider als Ergebnis nicht unbedingt
> richtig vor :(
Ist aber richtig, es lässt sich mittels des Residuensatzes auch ausrechnen.
Viele Grüße
Rainer
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Hallo Rainer, hallo Lippel,
ich wollte mich noch für eure Antworten bedanken
Grüße,
Stefan
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