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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:14 Fr 16.09.2011 | | Autor: | Random |
| Aufgabe | Gegeben seien der Weg W(t) = (t, [mm] \bruch{4}{3}t^{\bruch{3}{2}}, t^2) [/mm] und derPolygonzugP von (1, [mm] \bruch{4}{3} [/mm] ,1) über (1, 0, 1) nach (0, 0, 0)
a) Berechnen sie die Längen des Weges W und P und vergleichen sie. |
Hallo!!!
Ich habe mir den Polygonzug eingezeichnet, aber ich kann ihn nicht parametrisieren! Muss ich das für diese Aufgabe? Und wie geht das? :)
Den Weg W auszurechnen ist ja einfach das Integral von der [mm] \wurzel{Ableitung^2}.
[/mm]
Erbitte Unterstützung xD
Ilya
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:32 Fr 16.09.2011 | | Autor: | Fulla |
Hallo Random,
> Gegeben seien der Weg W(t) = (t,
> [mm]\bruch{4}{3}t^{\bruch{3}{2}}, t^2)[/mm] und derPolygonzugP von
> (1, [mm]\bruch{4}{3}[/mm] ,1) über (1, 0, 1) nach (0, 0, 0)
>
> a) Berechnen sie die Längen des Weges W und P und
> vergleichen sie.
> Hallo!!!
>
> Ich habe mir den Polygonzug eingezeichnet, aber ich kann
> ihn nicht parametrisieren! Muss ich das für diese Aufgabe?
> Und wie geht das? :)
Das ist hier nicht nötig. Berechne einfach die Längen der beiden Abschnitte. (Wenn du es unbedingt parametrisieren willst, musst es abschnittsweise machen.)
> Den Weg W auszurechnen ist ja einfach das Integral von der
> [mm]\wurzel{Ableitung^2}.[/mm]
Na ja... Eigentlich ist es [mm]L=\int_0^1\|W^\prime (t)\| dt[/mm], wobei [mm]\|W^\prime(t)\|=\sqrt{W_1^{\prime}^2+W_2^{\prime}^2+W_3^{\prime}^2}[/mm] ist und ich die Grenzen 0 und 1 mal so reininterpretiert habe
> Erbitte Unterstützung xD
>
> Ilya
Lieben Gruß,
Fulla
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:35 Fr 16.09.2011 | | Autor: | Random |
Hallo Fulla!
Vielen dank für deine schnelle Antwort.
Also wenn ich das einfach mal in der Skizze ausrechne, komme ich auf: [mm] 2\bruch{1}{3}
[/mm]
Einfach weil ich vom ersten Punkt zum zweiten [mm] \bruch{4}{3} [/mm] laufe und dann vom zweiten zum letzten 1 laufe. Stimmt das?
Und kannst du mir vielleicht erklären wie ich das parametresiere?
Danke im Voraus!!!
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Hallo Ilya,
> Hallo Fulla!
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> Vielen dank für deine schnelle Antwort.
>
> Also wenn ich das einfach mal in der Skizze ausrechne,
> komme ich auf: [mm]2\bruch{1}{3}[/mm]
>
> Einfach weil ich vom ersten Punkt zum zweiten [mm]\bruch{4}{3}[/mm]
> laufe und dann vom zweiten zum letzten 1 laufe. Stimmt das?
Nein, beim letzten läufst du von (1,0,1) nach (0,0,0) mit euklidischem Abstand [mm] \sqrt{2}.
[/mm]
>
> Und kannst du mir vielleicht erklären wie ich das parametresiere?
Eine Strecke S zwischen zwei Punkten P und Q lässt sich so parametrisieren:
S(t)=P+t*(Q-P) mit [mm] 0\leq t\leq1
[/mm]
>
> Danke im Voraus!!!
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:17 Fr 16.09.2011 | | Autor: | Random |
Vielen Dank nochmal!
Also ist das einfach [mm] \wurzel{1^2+0^2+1^2}=\wurzel{2}
[/mm]
Aber ich hab ja eine Strecke mit 3 Punkten. Wie soll ich das dann machen?
Ilya
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:41 Fr 16.09.2011 | | Autor: | Fulla |
Hallo Random,
> Vielen Dank nochmal!
>
> Also ist das einfach [mm]\wurzel{1^2+0^2+1^2}=\wurzel{2}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Aber ich hab ja eine Strecke mit 3 Punkten.
Nein, du hast 2 Strecken!
Ich nenn die Punkte mal A, B und C: Die eine Strecke geht von A nach B und die andere von B nach C.
Die Länge einer Strecke ist gleich der Länge des Vektors, der z.B. A und B verbindet: [mm]\|\vec B-\vec A\|[/mm] (Wenn es nur auf die Länge und nicht auf die Richtung ankommt, kannst du auch A und B vertauschen.)
Oben hast du (vermutlich unbewusst) den zweiten Abschnitt des Polygonzuges berechnet. Die Strecke geht von (1,0,1) nach (0,0,0) - ihre Länge ist [mm]\left\|\vektor{0\\
0\\
0}-\vektor{1\\
0\\
1}\right\|=\left\|\vektor{-1\\
0\\
-1}\right\|=\sqrt 2[/mm].
Jetzt rechne mal die Länge des ersten Abschnitts aus!
Lieben Gruß,
Fulla
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:46 Fr 16.09.2011 | | Autor: | Random |
Aso ja klar ^^
Also ich hab (1,3/4,1)-(1,0,1)=(0,3/4,0) Und somit [mm] \wurzel{(3/4)^2]} [/mm] = 3/4
Also das ist das die Länge und beim anderen wie du schon gesagt hast.
Ich kann auch die zwei Strecken P(1,3/4,1) / Q(1,0,1) parametrisieren nach deiner tollen Formel (danke! xD). Aber dann hab ich ja nur die zwei und muss ja noch irgendwie den letzten Punkt T(0,0,0) mit in die Parametrisierung nehmen oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:59 Fr 16.09.2011 | | Autor: | Fulla |
Hallo nochmal,
> Aso ja klar ^^
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> Also ich hab (1,3/4,1)-(1,0,1)=(0,3/4,0) Und somit
> [mm]\wurzel{(3/4)^2]}[/mm] = 3/4
>
> Also das ist das die Länge und beim anderen wie du schon
> gesagt hast.
Also ist die Gesamtlänge des Polynomzuges gleich....?
> Ich kann auch die zwei Strecken P(1,3/4,1) / Q(1,0,1)
> parametrisieren nach deiner tollen Formel (danke! xD). Aber
> dann hab ich ja nur die zwei und muss ja noch irgendwie den
> letzten Punkt T(0,0,0) mit in die Parametrisierung nehmen
> oder?
Wie kamelonti schon geschrieben hat, kannst du eine Strecke so parametrisieren:
[mm]S_1(t)=P+t*(Q-P)[/mm], für [mm]t\in[0,1][/mm] und
[mm]S_2(s)=Q+s*(T-Q)[/mm], für [mm]s\in[0,1][/mm].
Es würde auch sowas gehen:
[mm]S(t)=\begin{cases}P+t*(Q-P), & 0\le t\le 1\\
Q+(t-1)*(T-Q), & 1
Lieben Gruß,
Fulla
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:21 Fr 16.09.2011 | | Autor: | Random |
Ich glaube, ich muss erklären welche Aufgabe dazu gestellt wurde.
c) Berechnen Sie das Wegintegral [mm] \integral_{Y}{F * dX} [/mm] wobei Y der Weg W(t)=(t, [mm] \bruch{4}{3}t^{\bruch{3}{2}}, t^2) t\in[0,1] [/mm] + der Weg entlang P ist.
Dies ist die Aufgabe und mein Problem ist, dass ich gedacht habe ich muss irgendwie den Weg P parametriesieren um die zwei Wege W und P einfach per Addition zu addieren.
Z.B: Sei mein Weg P (t, 1-t, [mm] t^2) [/mm] wäre mein Weg Y dann: (2t, [mm] \bruch{4}{3}t^{\bruch{3}{2}}+1-t, 2t^2) [/mm] Stimmt doch nicht oder? xD
Dabei ist es doch auch entscheidend wo der eine Weg defieniert ist und wo der andere oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:31 Sa 17.09.2011 | | Autor: | Infinit |
Hallo Random,
was Du hier gemacht hast, geht beim besten Willen nicht. Beide Weganteile liegen ja augenscheinlich hintereinander und die Punkte darauf werden durch den jeweiligen Wert Deines Parameters charakterisiert. Im Normalfall berechnest Du demzufolge zwei Teilintegrale, deren Ergebnisse Du dann addierst. Das ist aber nicht das gleiche wie die von Dir durchgeführte Addition der beiden Parameter.
Viele Grüße,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:16 Sa 17.09.2011 | | Autor: | Random |
Vielen Dank.
Das hab ich mir auch schon gedacht. Ich habe überlegt für die erste Strecke das Wegintegral zu berechnen und darauf dann folgendes zu addieren:
1. Potentialfunktion ausrechnen. ( Da, wenn es ein Potential gibt der Weg nur vom Anfangs und Endpunkt abhängt.
2. In diese Funktion den Anfangs und Endpunkt einsetzen.
3. Funktonswert am Endpunkt minus Funktionswert am Anfangspunkt.
Diese Vorgehensweise müsste mir ja dann die restlichen Wert liefern (von dem nicht parametresierten Weg) den ich ja dann einfach auf den ersten Wert vom Wegintegral addieren kann.
So erhalte ich dann den Gesamtwert.
Ist diese Überlegung richtig?
Ilya
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Viel einfacher. Wenn es eine Potentialfunktion gibt, mußt du gar nichts mehr rechnen, denn die Gesamtkurve ist geschlossen und das Wegintegral dann 0.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:30 Sa 17.09.2011 | | Autor: | Random |
Oh, und woher weiss ich denn, dass der Gesamtweg geschlossen ist? xD
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:38 Sa 17.09.2011 | | Autor: | Infinit |
Hallo,
der Parameter für Deinen ersten Wegabschnitt läuft doch von 0 bis 1, setze mal die Null ein und Du bekommst den Punkt (0,0,0) und das ist auch der Endpunkt des zweiten Weganteils. Anfangs- und Endpunkt sind also gleich.
Viele Grüße,
Infinit
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:00 So 18.09.2011 | | Autor: | Random |
Vielen Dank!
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