Wegzusammenhängende Mengen < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | D3
(1) Zeigen Sie, dass eine stetige Abbildungzwischen topologischen Räumen wegzusammenhängende Mengen abbildet.
(2) Beweisen Sie dass die Menge [mm]\left\{ (x,y,z\in\IR^3:x^2+y^2=1 \right\}[/mm] wegzusammenhängend ist. |
Hallo Mathefreunde,
mein Problem bei dieser Aufgabe ist, dass ich nicht weiß, wie ich (1) allgemein zeigen soll. Der Begriff "wegzusammenhängend" denke ich ist mir klar. Zu (2) müsste es, wenn ich es richtig verstanden habe, eine Funktion geben, dessen Zahlenpaar aus [0,1] und die dann in eine reelle Zahl abbildet. Hier wäre sie f(0,1) bzw.f(1,0). Beides wäre laut Mengenvorschrift immer 1, somit wegzusammenhängend.
Vielen Dank schon mal im Voraus
Christoph
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:06 Mi 28.04.2010 | | Autor: | fred97 |
> D3
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> (1) Zeigen Sie, dass eine stetige Abbildungzwischen
> topologischen Räumen wegzusammenhängende Mengen
auf wegzusammenh. Mengen
> abbildet.
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> (2) Beweisen Sie dass die Menge [mm]\left\{ (x,y,z\in\IR^3:x^2+y^2=1 \right\}[/mm]
> wegzusammenhängend ist.
> Hallo Mathefreunde,
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> mein Problem bei dieser Aufgabe ist, dass ich nicht weiß,
> wie ich (1) allgemein zeigen soll. Der Begriff
> "wegzusammenhängend" denke ich ist mir klar.
Seien X und Y topologische Räume und f:X [mm] \to [/mm] Y stetig.
Du sollst zeigen: ist M eine wegzusammenh. Teilmenge von X, so ost f(M) eine wegzusammenh. Teilmenge von Y
Wenn Dir, wie Du sagst, der Begriff "wegzusammenhängend" klar ist, solltest Du das hinkriegen
Zu (2)
> müsste es, wenn ich es richtig verstanden habe, eine
> Funktion geben, dessen Zahlenpaar aus [0,1] und die dann in
> eine reelle Zahl abbildet. Hier wäre sie f(0,1)
> bzw.f(1,0). Beides wäre laut Mengenvorschrift immer 1,
verstehst Du eigentlich selbst, was Du da schreibst ? Ich verstehs jedenfalls nicht. Aber ich ahnme was Du meinst.
wir setzen G:= $ [mm] \left\{ (x,y,z) \in \IR^3:x^2+y^2=1 \right\} [/mm] $ und def.
$f: [0, 2 [mm] \pi] \times \IR \to [/mm] G$
durch $f(t,z)= (cos(t), sin(t),z)$
Zeige:
[0, 2 [mm] \pi] \times \IR [/mm] ist wegzusammenhängend
$f([0, 2 [mm] \pi] \times \IR) [/mm] =G$
und
f ist stetig
FRED
> somit wegzusammenhängend.
>
> Vielen Dank schon mal im Voraus
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> Christoph
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