Wegzusammenhangskomponente < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:36 Do 21.07.2011 | | Autor: | mikexx |
| Aufgabe | Hallo, ich habe (mal) wieder eine Frage, diesmal betrifft sie topologische Begriffe, nämlich den der Wegzusammenhangskomponente und den des Gebiets.
Ich möchte gerne zeigen:
[mm]U\subseteq \IR^n[/mm] offen [mm] \Rightarrow [/mm] Jede Wegzusammenhangskomponente ist ein Gebiet, d.h. nicht leer, offen und (weg)zusammenhängend. |
Ich finde diese Aussage überall als "klar" oder "trivial", finde sie aber gar nicht derart einfach und würde mich gerne mal an einem Beweis versuchen!
Ich nehme einen Punkt [mm]x\in U[/mm]. Da U als offen vorausgesetzt ist, kann ich eine beliebige Epsilon-Kugel um den Punkt x hernehmen und diese Kugel liegt in U. Die Wegzusammenhangskomponente des Punktes x ist doch die Menge derjenigen Punkte aus U, die man mit x via eines stetigen Weges verbinden kann. Daher würde ich meinen, dass alle Punkte aus der obigen Epsilon-Kugel die Wegzusammenhangskomponente von x bilden.
Diese Menge ist offen, da sie Teilmenge von U ist und m.E. auch (weg)zusammenhängend, da man je zwei Punkte aus dieser Menge durch einen stetigen Weg verbinden kann. Also ist diese Wegzusammenhangskomponente ein Gebiet.
Der Punkt x wurde beliebig ausgesucht; daher gilt dies alles auch für jeden anderen Punkt aus U und daher ist jede Wegzusammenhangskomponente ein Gebiet.
So, soweit mein Beweis, nun hoffe ich, daß ich richtig liege und eine Antwort bekomme!
Liebe Grüße!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:46 Do 21.07.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo, ich habe (mal) wieder eine Frage, diesmal betrifft
> sie topologische Begriffe, nämlich den der
> Wegzusammenhangskomponente und den des Gebiets.
>
> Ich möchte gerne zeigen:
>
> [mm]U\subseteq \IR^n[/mm] offen [mm]\Rightarrow[/mm] Jede
> Wegzusammenhangskomponente ist ein Gebiet, d.h. nicht leer,
> offen und (weg)zusammenhängend.
> Ich finde diese Aussage überall als "klar" oder
> "trivial", finde sie aber gar nicht derart einfach und
> würde mich gerne mal an einem Beweis versuchen!
>
> Ich nehme einen Punkt [mm]x\in U[/mm].
Wieso nimmst Du ein [mm]x\in U[/mm] ?
Sei W eine Wegzusammenhangskomponente von U. Nach Definition ist W wegzusammenhängend. Zu zeigen ist also noch: W ist offen.
Du mußt also ein [mm] x_0 \in [/mm] W hernehmen !!! Da [mm] x_0 \in [/mm] U und U offen ist, ex ein [mm] \varepsilon>0 [/mm] mit
[mm] B_{\varepsilon}(x_0) \subseteq [/mm] U
( [mm] B_{\varepsilon}(x_0) [/mm] = [mm] \varepsilon [/mm] - Kugel um [mm] x_0)
[/mm]
Setze [mm] $W_1:= [/mm] W [mm] \cup B_{\varepsilon}(x_0)$
[/mm]
Dann ist [mm] W_1 [/mm] wegzusammenhängend und es gilt W [mm] \subseteq W_1 \subseteq [/mm] U
Da W eine Wegzusammenhangskomponente von U ist, folgt:
[mm] W=W_1
[/mm]
und somit ist [mm] B_{\varepsilon}(x_0) \subseteq [/mm] W
FRED
> Da U als offen vorausgesetzt
> ist, kann ich eine beliebige Epsilon-Kugel um den Punkt x
> hernehmen und diese Kugel liegt in U. Die
> Wegzusammenhangskomponente des Punktes x ist doch die Menge
> derjenigen Punkte aus U, die man mit x via eines stetigen
> Weges verbinden kann. Daher würde ich meinen, dass alle
> Punkte aus der obigen Epsilon-Kugel die
> Wegzusammenhangskomponente von x bilden.
>
> Diese Menge ist offen, da sie Teilmenge von U ist und m.E.
> auch (weg)zusammenhängend, da man je zwei Punkte aus
> dieser Menge durch einen stetigen Weg verbinden kann. Also
> ist diese Wegzusammenhangskomponente ein Gebiet.
>
> Der Punkt x wurde beliebig ausgesucht; daher gilt dies
> alles auch für jeden anderen Punkt aus U und daher ist
> jede Wegzusammenhangskomponente ein Gebiet.
>
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> So, soweit mein Beweis, nun hoffe ich, daß ich richtig
> liege und eine Antwort bekomme!
>
> Liebe Grüße!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:54 Do 21.07.2011 | | Autor: | mikexx |
Hierz habe ich noch 2 Fragen:
1.) Mir war nicht klar, daß eine Wegzusammenhangskomponente nach Definition wegzusammenhängend ist. Vermutlich, weil wir den Begriff nie sauber definiert haben.
Hast Du eine Definition für eine Wegzusammenhangskomponente oder einen Link zu einer Definition?
2.) Wieso gilt [mm]W_1=W [/mm].
Du hast geschrieben: "Weil W Wegzusammenhangskomponente ist." Kannst Du das erklären für mich?
Vielen Dank für die Antwort!
Es war natürlich dumm, den Punkt aus U zu wählen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:13 Do 21.07.2011 | | Autor: | mikexx |
Also das mit der Definition hat sich erledigt, da lag ich ja schon richtig:
"Die Wegzusammenhangskomponente W(x) von x ist die Menge aller Punkte in X, die durch einen Weg von x zu erreichen sind."
Wieso allerdings die Wegzusammenhangskomponente eines Punktes (oder einer Menge) wegzusammenhängend ist, ist mir nicht so klar.
Vielleicht deswegen:
Angenommen, man kann den Punkt x mit dem Punkt q und mit dem Punkt r durch jeweils einen Weg verbinden.
Dann kann man vielleicht den Weg von q nach r definieren als den Weg von r nach p und von dort nach q?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:16 Do 21.07.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Also das mit der Definition hat sich erledigt, da lag ich
> ja schon richtig:
>
> "Die Wegzusammenhangskomponente W(x) von x ist die Menge
> aller Punkte in X, die durch einen Weg von x zu erreichen
> sind."
>
> Wieso allerdings die Wegzusammenhangskomponente eines
> Punktes (oder einer Menge) wegzusammenhängend ist, ist mir
> nicht so klar.
Nimm zwei Punkte $a$ und $b$ in $W(x)$. Dann gibt es einen Weg von $a$ nach $x$, und einen von $x$ nach $b$. Haengst du die Hintereinander, hast du einen Weg von $a$ nach $b$. Da $a$ und $b$ beliebig folgt, dass $W(x)$ wegzusammenhaengend ist.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:18 Do 21.07.2011 | | Autor: | mikexx |
Danke!
Da war ich gerade zu langsam bzw. Du zu schnell, hatte das gerade auch vorgeschlagen. :D
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:20 Do 21.07.2011 | | Autor: | felixf |
Moin,
Frage 1 ist ja nun geklaert.
> 2.) Wieso gilt [mm]W_1=W [/mm].
>
> Du hast geschrieben: "Weil W Wegzusammenhangskomponente
> ist." Kannst Du das erklären für mich?
Nun: eine Wegzusammenhangskomponente ist eine maximale Teilmenge, die noch wegzusammenhaengend ist. Wenn du also eine Uebermenge [mm] $W_1$ [/mm] hast mit $W [mm] \subseteq W_1 \subseteq [/mm] U$, dann ist [mm] $W_1$ [/mm] genau dann wegzusammenhaengend, wenn bereits $W = [mm] W_1$ [/mm] ist. Ansonsten koennte man ja $W$ selber vergroessern...
LG Felix
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:42 Do 21.07.2011 | | Autor: | mikexx |
Danke an fred97 und felixf!
Nun ist mir's auch "klar"!
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