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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:58 So 10.06.2012 | | Autor: | Katze_91 |
| Aufgabe | Sei X eine Zufallsvariable und folge einer Weibull-Verteilung mit Parametern [mm] \alpha [/mm] >0 und [mm] \beta [/mm] >0 , dh. mit der Dichte
f(x)= [mm] \alpha\beta x^{\beta-1}exp(-\alpha x^{\beta})I_{[0,\infty)}(x)
[/mm]
Welcher Verteilung folgt [mm] Y=X^{\beta}? [/mm] Bestimmen Sie hierzu die Dichte von Y |
Hallo bei dieser Aufgabe... überhaupt keinen Ansatz
Faltungsformel geht ja in erster line schon mal nicht weil X von X in der Regel nicht unabhängig sind (ausser wenn die Verteilung konstant ist)
im Skript hatten wir mal so einen Ansatz mit
[mm] H(\lambda)=P(x^2 \le \lambda)=2P(0\le [/mm] x [mm] \wurzel{\lambda})
[/mm]
ist das hier auch der richtige ansatz? ich muss dann aber schauen ob [mm] \beta [/mm] gerade oder ungerade ist und bei dem fall mit ungerade noch berücksichtigen, dass x >0 sein kann? also meine idee wäre dann:
[mm] H(\lambda)=P(x^\beta \le \lambda)=\beta P(0\le [/mm] x [mm] \wurzel[\beta]{\lambda}) [/mm] für [mm] \beta [/mm] gerade und
[mm] H(\lambda)=P(x^\beta \le \lambda)=\beta P(-\wurzel[\beta]{\lambda}\le [/mm] x [mm] \wurzel[\beta]{\lambda}) [/mm] für [mm] \beta [/mm] ungerade
wäre das ein richtiger Ansatz oder komplett falsch oder geht das vielleicht noch einfacher?
Miau katze
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Hallo,
die Verteilungsfunktion für die Zufallsvariable $X$ lautet ja
F(t):=P(X [mm] \leq [/mm] t) [mm] =\begin{cases} \int\limits_{0}^{t}\alpha\beta x^{\beta-1}exp(-\alpha x^{\beta}) \; dx & \mbox{für} \; t \geq 0 \\
0 & \mbox{für} \; t < 0
\end{cases}.$
[/mm]
Die Zufallsvariable [mm] $Y=X^{\beta}$ [/mm] ist fasst sicher nichtnegativ(also [mm] $\geq [/mm] 0$) wegen der Nichtnegativität der Zufallsvariablen $X$.
Also ist
[mm] $P(Y\leq [/mm] t)=...... (??)$ für $t<0$.
Für $t [mm] \geq [/mm] 0$ gilt
[mm] $P(Y\leq t)=P(X^{\beta}\leq t)=P(X\leq t^{\frac{1}{\beta}})=...
[/mm]
Versuch mal damit weiterzukommen.
Viele Grüße
Blasco
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:40 So 10.06.2012 | | Autor: | Katze_91 |
okay ich bin schon mal weiter als davor^^ danke
bei P(Y [mm] \le [/mm] t) für t<0 würde ich sagen, dass [mm] P(Y\le [/mm] t)= 0 gilt
aber ich bin mir nicht sicher warum für [mm] t\ge [/mm] 0 gilt, dass
[mm] P(Y\le [/mm] t)= [mm] P(X^{\beta} \le [/mm] t) = P(X [mm] \le t^{\bruch{1}{\beta}}) [/mm] gilt, muss da nicht noch ein vorfaktor hin? im skript hatten wir einen...
achso nein der im skript kam daher, da wir da von - unendlich integriert haben
da wir hier aber von null bis t integrieren kommt da kein vorfaktor hin und ich muss dann "nur" P(X [mm] \le t^{\bruch{1}{\beta}})=\integral_{0}^{t^{\bruch{1}{\beta}}}{f(x) dx} [/mm] berechnen oder?
LG
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Hallo,
ja genau,
berechne dazu eine Stammfunktion von $f(x)$.
Viele Grüße
Blasco
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:12 So 10.06.2012 | | Autor: | Katze_91 |
ich hab da jetzt mal substitution angewand aber ich glaub da muss was falsch sein:
P(Y [mm] \le [/mm] t)= [mm] -\int_{0}^{t^{\bruch{1}{\beta}}}-\alpha\beta X^{\beta-1} exp(-\alpha X^{\beta}) [/mm] dx
mit [mm] \phi(x)=-\alpha X^{\beta}
[/mm]
hab ich dann wenn ich die substitutionregel auf wikipedia verfolge
= [mm] \int_{-\alpha t}^{0}exp(\lambda)d\lambda= P(-\alpha [/mm] t [mm] \le [/mm] Y)=1-P(Y [mm] \le -\alpha [/mm] t) raus das sieht doch nicht richtig aus oder?
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Hallo,
verwende die Substitution [mm] $s=x^{\beta}$. [/mm]
Dann ist [mm] \frac{ds}{dx}=\beta \cdot x^{\beta-1}$. [/mm]
Versuche das mal zu verwenden.
Viele Grüße
Blasco
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:58 So 10.06.2012 | | Autor: | Katze_91 |
Jetzt kommt was schönes raus ^^ danke schön
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