Weierstraß-Kriterium < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 15:07 Di 14.11.2017 | | Autor: | mathstu |
| Aufgabe | | Formulieren und beweisen Sie ein Weierstraß-Majorantenkriterium für mehrdimensionale Funktionenreihen. |
Hallo Matheraum-Community!
Ich soll obige Aufgabe lösen und hab mir dazu auch schon (hoffentlich richtig) überlegt wie das mehrdimensionale Weierstraß-Kriterium aussehen soll:
Sei [mm] M \subset \IC^n [/mm] und [mm]f_k: M \to \IC[/mm]. Sei [mm]\summe_{k \in \IN_{0}^{n}} a_k[/mm] absolut konvergent mit [mm]\parallel f_k \parallel \le a_k \; \forall k \in \IN_{0}^{n}[/mm], dann ist [mm] \summe_{k \in \IN_{0}^{n}} f_k [/mm] absolut gleichmäßig konvergent.
Ist meine Formulierung des Kriteriums so weit korrekt?
Ich habe mir dann hierzu auch einen Beweis überlegt, der ähnlich zu dem Beweis des Weierstraß-Kriteriums in einer Veränderlichen ist.
Also, da [mm]\summe_{k \in \IN_{0}^{n}} a_k[/mm] absolut konvergent ist, existiert nach unserer Vorlesung ein [mm]c \in \IR[/mm] mit [mm]\summe_{k, k_i \le N \forall i} |a_k| \le c \; \forall N[/mm].
Dass die Funktionenreihe [mm] \summe_{k \in \IN_{0}^{n}} f_k [/mm] absolut gleichmäßig konvergiert, bedeutet dass für eine, und somit für jede (nach dem Riemannschen Umordnungssatz) Bijektion [mm]\sigma:\IN_0 \to \IN_0^n[/mm] die Reihe [mm] \summe_{i=0}^{n}} f_{\sigma(i)} [/mm] gleichmäßig konvergiert.
Also zeigen wir jetzt dass es so eine Bijektion gibt für die die Reihe dann gleichmäßig konvergent ist. Wir benutzen das mehrdimensionale Cauchy-Kriterium um die gleichmäßige Konvergenz zu zeigen. Es gilt für [mm]m>n\ge 0[/mm]:
[mm]\left| \summe_{i=n+1}^{m}} f_{\sigma(i)} \right|
\le \summe_{i=n+1}^{m}} \left|f_{\sigma(i)}\right| [/mm] (mit Dreiecksungleichung)
[mm]
\le \summe_{k \in \IN_0^n, n+1\le k_i \le m} \parallel f_k\parallel
\le \summe_{k \in \IN_0^n, n+1\le k_i \le m} |a_k|
\le \summe_{k \in \IN_0^n, k_i \le N} |a_k| [/mm] (für genügend großes N gilt dann:)
[mm]
\le c [/mm]. (Voraussetzung)
Somit würde die Behauptung mit dem Cauchy-Kriterium folgen.
Kann man die das mehrdimensionale Weierstraß-Kriterium so beweisen oder habe ich mich irgendwo vertan?
Viele Grüße,
mathstu
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:20 Sa 18.11.2017 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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