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Forum "Integralrechnung" - Welche Fläche rotiert wann?
Welche Fläche rotiert wann? < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Welche Fläche rotiert wann?: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:24 Di 14.04.2015
Autor: RichardEb

Es geht im folgenden um das Rotationsvolumen.

[Dateianhang nicht öffentlich]

Angenommen ich habe die Funktion [mm] y=x^2. [/mm] Diese rotiere ich um die x-Achse im Intervall [0,1].
Hierfür nutze ich die Formel $ [mm] \integral_{0}^{1}{f(x)^ 2dx} [/mm] $ [mm] f(x)=x^2 [/mm]

Wird dann der Teil rotiert der zwischen Parabel und x-Achse liegt(von x=0 bis x=2)? Also das im Bild grün markierte?

Nun rotiere ich um die Y-Achse im Intervall [0,2].

Hierfür nutze ich die Formel  $ [mm] \integral_{0}^{2}{g(y)^2 dy} [/mm] $ [mm] g(y)=\wurzel{y} [/mm]

Wird dann der Teil rotiert der zwischen Parabel und Y-Achse liegt(von y=0 bis y=2)? Also das im Bild rot markierte?

Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
        
Bezug
Welche Fläche rotiert wann?: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:26 Di 14.04.2015
Autor: abakus


> [Dateianhang nicht öffentlich]

>

> Angenommen ich habe die Funktion [mm]y=x^2.[/mm] Diese rotiere ich
> um die x-Achse im Intervall [0,2].
> Hierfür nutze ich die Formel [mm]\integral_{0}^{2}{f(x)^ 2dx}[/mm]
> [mm]f(x)=x^2[/mm]

>

> Wird dann der Teil rotiert der zwischen Parabel und x-Achse
> liegt(von x=0 bis x=2)? Also das im Bild grün markierte?

>

> Nun rotiere ich um die Y-Achse im Intervall [0,2].

>

> Hierfür nutze ich die Formel [mm]\integral_{0}^{2}{g(y)^2 dy}[/mm]
> [mm]g(y)=\wurzel{y}[/mm]

>

> Wird dann der Teil rotiert der zwischen Parabel und Y-Achse
> liegt(von y=0 bis y=2)? Also das im Bild rot markierte?

Hallo,
du stellst die falsche Frage.
Du sagst, du lässt eine Funktion rotieren.
Diese Funktion (oder besser: ihr Graph) ist -bildlich gesprochen- ein unendlich dünner gebogener Strich. Wenn du diese Funktion -worum auch immer- rotieren lässt, dann ist der Ort, den der Graph der Funktion während dieser Rotattion einnimmt, eine unendlich dünne gekrümmte Fläche - mehr nicht (z.B. so eine Art dünnwandiger Kelch). Was immer man dann hineininterpretiert (wie viel passt in diesen Kelch, oder wie viel Material bleibt übrig, wenn man das Zeug aus einem zylinderförmigen Klotz ausbohrt oder oder oder...) hängt von der KONKRET gestellten Aufgabe ab.
Gruß Abakus

Bezug
                
Bezug
Welche Fläche rotiert wann?: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:00 Di 14.04.2015
Autor: RichardEb

Es geht ums Rotationsvolumen. Zu meinen Fragen sind konrekte Beispiele angegeben, sodass man rotieren kann.

Bezug
                        
Bezug
Welche Fläche rotiert wann?: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:14 Di 14.04.2015
Autor: chrisno


> Angenommen ich habe die Funktion $ [mm] y=x^2. [/mm] $ Diese rotiere ich um die x-Achse im Intervall [0,1].
> Hierfür nutze ich die Formel $ [mm] \integral_{0}^{1}{f(x)^ 2dx} [/mm] $ $ [mm] f(x)=x^2 [/mm] $

Ein [mm] $\pi$ [/mm] darfst Du noch spendieren.

> Wird dann der Teil rotiert der zwischen Parabel und x-Achse liegt(von x=0 bis x=2)?
> Also das im Bild grün markierte?

Die grün markierte Fläche, zusammen mit ihrem an der x-Achse gespiegeltem Bild stellt dann einen Schnitt durch den Rotationskörper dar, dessen Volumen mit der korrigierten Formel berechnet wird.

> Nun rotiere ich um die Y-Achse im Intervall [0,2].
> Hierfür nutze ich die Formel  $ [mm] \integral_{0}^{2}{g(y)^2 dy} [/mm] $ $ [mm] g(y)=\wurzel{y} [/mm] $
> Wird dann der Teil rotiert der zwischen Parabel und Y-Achse liegt(von y=0 bis y=2)?

Mit allen Anmerkungen wie oben: ja.

> Also das im Bild rot markierte?

Das nun wieder nicht. Es muss auch noch das kleine Stück im Bereich $1 [mm] \le [/mm] x [mm] \le \sqrt{2}$ [/mm] markiert werden.

Bezug
                                
Bezug
Welche Fläche rotiert wann?: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:27 Mi 15.04.2015
Autor: RichardEb


> > Also das im Bild rot markierte?
>  Das nun wieder nicht. Es muss auch noch das kleine Stück
> im Bereich [mm]1 \le x \le \sqrt{2}[/mm] markiert werden.

Stimmt. Das wollte Paint wohl nicht mit markieren^^

Bezug
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