Welche Teilsysteme sind Basen des R3 < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 09:25 Di 18.05.2004 | | Autor: | baddi |
Hallo mal wieder :) werde die Aufgabe hier online lösen.
Vielleicht schaut mal jemand drauf ob ich das richtig gemacht habe. Danke ! :) Und vielleicht hat ja ein dritter was davon :)
Dann kann ich gleich noch den TeX- Textsatz üben.
Aufgabe:
Welche Teilsysteme von
[m]
\begin{Bmatrix}
\begin{pmatrix}
1 \\ 2 \\ 3
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
2 \\ 1 \\ 3
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
2 \\ 2 \\ 6
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
0 \\ 4 \\ 12
\end{pmatrix}
\end{Bmatrix}
[/m]
sind Basen des [m]\IR^3[/m]?
Nennt man das jetzt Vektorraum ? Kann man sicher als solches ansehen. Sicher kann man auch Erzeugendensystem sagen. Oder einfach nur System ?
Seis drum.
Idee: Der [m]\IR^3[/m] ist mit drei linear unabhängigen Vektoren darstellbar, welche mindestens drei Zeilen haben (und selbstvertändlich den Rang 3).
Ich muss also herrausfinden welche miteinander liniar- abhängig sind und kann diese dann willkürlich wählen.
Hmm ich kenne die Gleichung
a *
[mm] \begin{pmatrix}
1 \\ 2 \\ 3
\end{pmatrix} [/mm] + b *
[mm] \begin{pmatrix}
2 \\ 1 \\ 3
\end{pmatrix} [/mm] + c *
[mm] \begin{pmatrix}
2 \\ 2 \\ 6
\end{pmatrix} [/mm] + d *
[mm] \begin{pmatrix}
0 \\ 4 \\ 12
\end{pmatrix} [/mm] = 0
und a,b,c,d != 0
=> sind linear unabhängig.
Das schreibe ich mal in ein Gleichungsystem besser gleich in eine Matrix
=>
[m]
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 2 & 0
\\ 2 & 1 & 2 & 4
\\ 3 & 3 & 6 & 12
\end{pmatrix}
[/m]
Werd das jetzt mal ausrechnen und mich dann wieder melden...
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:43 Di 18.05.2004 | | Autor: | baddi |
Spaltenreihenfolge: a,b,c,d
[m]
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 2 & 0
\\ 2 & 1 & 2 & 4
\\ 3 & 3 & 6 & 12
\end{pmatrix}
[/m]
[m]
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 2 & 0
\\ 2 & 1 & 2 & 4
\\ 0 & 3 & 0 & -12
\end{pmatrix}
[/m]
Spalten vertauschen
a,c,b,d :
[m]
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 2 & 0
\\ 2 & 2 & 1 & 4
\\ 0 & 0 & 3 & -12
\end{pmatrix}
[/m]
[m]
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 2 & 0
\\ 0 & -2 & -3 & 4
\\ 0 & 0 & 3 & -12
\end{pmatrix}
[/m]
Ich kann also für b irgendwas wählen (ungleich 0) und das GS ist lösbar.
Hmmm. Also ist ein Vektor linear abhängig. Richtig ?
Kann ich jetzt sofort daraus schliesen das ich jede Linearkombination mit 3 Vektoren aus den 4 gegebenen verwenden kann um den [m]\IR^3[/m] zu erzeugen ?
Ich glaube schon.
Es gibt also Teilräume:
{v1,v2,v3},{v1,v2,v4},{v2,v3,v4},{v1,v3,v4}
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:18 Di 18.05.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo baddi
der [mm] $\mathbb{R}^3$ [/mm] ist ja ein 3-dimensionaler Vektorraum!
Das heisst, die Anzahl der Basisvektoren ist 3. Nicht weniger und nicht mehr!
Wenn du in einem n-dimensionalen Vektorraum mehr als n Vektoren hast, dann sind diese sicher linear abhängig! Diese ganze Ueberprüfung hättest du dir also ersparen können. 
Mir lieben Grüssen
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:19 Di 18.05.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo Sebastian!
> Kann ich jetzt sofort daraus schliesen das ich jede
> Linearkombination mit 3 Vektoren aus den 4 gegebenen
> verwenden kann um den [m]\IR^3[/m] zu erzeugen ?
> Ich glaube schon.
Nein, das kannst du nicht.
> Es gibt also Teilräume:
> {v1,v2,v3},{v1,v2,v4},{v2,v3,v4},{v1,v3,v4}
Du musst nachweisen, dass alle diese Tripel jeweils linear unabhängig sind! Führe das bitte noch durch und melde dich mit deinen Ergebnissen. Wir helfen dir dann und kontrollieren deine Ergebnisse. 
Den ersten Teil hättest du dir, wie Paulus bereits gesagt hat, sparen können, da vier Vektoren eines dreidimensionalen Vektorraumes immer linear abhängig sind.
Liebe Grüße
Julius
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 12:35 Di 18.05.2004 | | Autor: | baddi |
Oh schade muss ich jedes Tribel durchtesten ;) und ich bin doch so faul. Also ans Werk.
Übrigens... ich musste mich todlachen... hab wohl mein gesunden Menschenverstand mal wieder verlegt. Den R3 mit ner Basis 4 .. So ein Quatsch hihi. :)
Ich mach ne Matrix mit den Spalten x,y,z
[m]
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
2 & 1 & 3 \\
2 & 2 & 6
\end{pmatrix}
[/m]
[m]
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
0 & -3 & -3 \\
0 & -2 & 0
\end{pmatrix}
[/m]
=> x2 = 0 => x3 = 0 => x1=0
Das bedeutet... tja was eigentlich ?
Das der Null - Vektor die Kombination der dreien ist ?
Vielleicht war das der falsche Ansatz. Ich schreib das noch mal anders.
a*v1 + b*v2 + c*v3 = 0 und a,b,c != 0 lösbar ?
OK es war ja lösbar (siehe letzte Matrix) das hiese dann Sie sind linear abhängig.
Bin mir da nicht ganz sicher... ich überleg noch mal.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:50 Di 18.05.2004 | | Autor: | baddi |
Ich muss doch besser a,b,c als Spalten wählen.
Hier dann die Umformung
[m] \begin{pmatrix}
1 & 2 & 2
\\ 2 & 1 & 2
\\ 3 & 3 & 6
\end{pmatrix} [/m]
=>
[m] \begin{pmatrix}
1 & 2 & 2
\\ 0 & -3 & -2
\\ 0 & -3 & 2
\end{pmatrix} [/m]
=>
[m] \begin{pmatrix}
1 & 2 & 2
\\ 0 & -3 & -2
\\ 0 & 0 & 4
\end{pmatrix} [/m]
Ok, was sagt mir das jetzt ?
1) Es gibt eine Eindeutige Lösung.
2) a,b,c ist aber 0
Folglich ist die Linearkombination aus den ersten Vektoren lin.abhängig. Gel ?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:00 Di 18.05.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo Sebastian
> [m]\begin{pmatrix}
> 1 & 2 & 2
> \\ 2 & 1 & 2
> \\ 3 & 3 & 6
> \end{pmatrix}[/m]
>
> =>
> [m]\begin{pmatrix}
> 1 & 2 & 2
> \\ 0 & -3 & -2
> \\ 0 & -3 & 2
> \end{pmatrix}[/m]
>
Hier ist die 3. Zeile wohl nicht ganz richtig! (Ich glaube, die 3. Komponente müsste 0 sein!
> =>
> [m]\begin{pmatrix}
> 1 & 2 & 2
> \\ 0 & -3 & -2
> \\ 0 & 0 & 4
> \end{pmatrix}[/m]
>
> Ok, was sagt mir das jetzt ?
> 1) Es gibt eine Eindeutige Lösung.
> 2) a,b,c ist aber 0
> Folglich ist die Linearkombination aus den ersten Vektoren
> lin.abhängig. Gel ?
>
Nein! Vorausgesetzt, du habest dich nicht verrechnet, so siehst du doch jetzt auf einen Blick, dass die Matrix den rang $3$ hat, d.h. die 3 Vektoren sind linear unabhängig, bilden also eine Basis des [mm] \mathbb {R}^3. [/mm] Sie spannen den ganzen Raum auf.
...aber eben, du hast dich ja verrechnet... :-(
Liebe Grüsse
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:05 Di 18.05.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo Sebastian
> Ich muss doch besser a,b,c als Spalten wählen.
Ob du Spalten- oder Zeilenvektoren nimmst, ist eigentlich egal!
Es gilt ja: $Rang(A) = [mm] Rang(A^T)$
[/mm]
Liebe Grüsse
|
|
|
|
