Welche der Aussagen ist wahr/f < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:26 Sa 26.07.2014 | | Autor: | Smuji |
| Aufgabe | Welche der Aussagen ist richtig, welche falsch ?
Eine Reihe [mm] \summe_{k=1}^{\infty} [/mm] ak mit positiven Gliedern ak ist konvergent, wenn ...
a) ... [mm] \bruch{ak+1}{ak} [/mm] < 1 für alle natürlichen Zahlen k"
b) ... ak [mm] \le \bruch{1}{k^{2}} [/mm] für alle natürlichen Zahlen k".
Begründung oder Gegenbeispiel ! |
Hallo,
wie löst/beantwortet man diese Aufgabe am besten ?
Mein Tipp, wäre a) , denn das erinnert mich an das Quotientenkriterium....
könnte man eine solche reihe [mm] \summe_{k=1}^{\infty} [/mm] ak , welche nur aus ak besteht auch , also recht einfach aufgebaut ist, eigentlich auch mit dem QK errechnen ? ja, oder ?
Könnte ich dann einfach das Quotientenkriterium aufzeigen als Begründung ?
Gruß Smuji
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:09 Sa 26.07.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Welche der Aussagen ist richtig, welche falsch ?
>
> Eine Reihe [mm]\summe_{k=1}^{\infty}[/mm] ak mit positiven Gliedern
> ak ist konvergent, wenn ...
>
> a) ... [mm]\bruch{ak+1}{ak}[/mm]
Du meinst [mm] $\frac{a_{k+1}}{a_k}$
[/mm]
> < 1 für alle natürlichen Zahlen
> k"
betrachte mal
[mm] $a_k=\frac{1}{k}\,.$
[/mm]
Was weißt Du über die harmonische Reihe?
> b) ... ak [mm]\le \bruch{1}{k^{2}}[/mm] für alle natürlichen
> Zahlen k".
Was weißt Du denn über
[mm] $\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^2}$?
[/mm]
(Eventuell siehe auch: Cauchyscher Verdichtungssatz! Es geht auch
anders: Für $k > [mm] 1\,$ [/mm] kann man
[mm] $\frac{1}{k^2}\le \frac{1}{k*(k-1)}=\frac{1}{k-1}-\frac{1}{k}$
[/mm]
und dann "Teleskopreihenmethode" benützen!)
Zudem gilt hier:
[mm] $\sum_{k=1}^\infty a_k$ $\le$ $\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^2}\,.$
[/mm]
Was folgt dann mit Majorantenkriterium?
P.S. Beachte: Aus [mm] $\left|\frac{a_{k+1}}{a_k}\right| [/mm] < 1$ für alle [mm] $k\,$ [/mm] folgt nur [mm] $\lim_{k \to \infty} \left|\frac{a_{k+1}}{a_k}\right|$ $\le$ $1\,$ [/mm]
(gleiches für den Limsup). Wir bekommen mit dem QK ein "Aussagen-
Problem", wenn dort [mm] $=1\,$ [/mm] bei der Limes- (besser: Limsup-)Berechnung
herauskommt.
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:49 Sa 26.07.2014 | | Autor: | Smuji |
Was weißt Du über die harmonische Reihe?
- nix....
Cauchyscher Verdichtungssatz!
- watn dat ?
Teleskopreihenmethode?
- kenne nur teleskopschlagstöcke
Majorantenkriterium?
- nur den namen
ich glaube ich bete einfach, dass so eine aufgabe nicht dran kommt.....
|
|
|
| |
|
Hallo,
Ein derart blöder Kommentar schreit nach einer gleichermaßen qualifizierten Antwort.
Alles außer dem Verdichtungssatz ist elememtarer Standard und wird in der Vorlesung behandelt.
Gehst du da nicht hin oder warum kennst du nicht einmal die harmonische Reihe?
Neben dem Beten halte ich das Nacharbeiten det Vorlesung für die beste Idee, die Klausur zu bestehen.
Gruß und Amen
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:48 Sa 26.07.2014 | | Autor: | Smuji |
so viel stoff wie er in 4 std vorlesung durchrattert, kann man garnicht nachholen, wenn man noch andere vorlesungen hat.zumal montags 4 std vorlesung. dienstags wieder 2 wo es weiter geht und direkt anschließend 2 übungsstunden....nur, wie kann man die übungen dienstags lösen, wenn nicht mal ein wochenende dazwischen war um sich mit dem thema auseinander zu setzen ?!?
er zieht den stoff eiskalt auf hochmathematischer eben durch, sodass jemand, der noch nie was davon gehört hat, eigentlich einpacken kann und heim gehen kann, weil er nur fragezeichen im kopf hat..... um diese 4 std so zu verinnerlichen + das lernen und nachholen in anderen fächern, so viel freizeit hat man garnicht...oder man muss nachtmensch werden...
ich kenne die harmonische reihe schon, aber weiß jetzt nicht genau was mir das sagen soll....
trotzdem danke
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:53 Sa 26.07.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> so viel stoff wie er in 4 std vorlesung durchrattert, kann
> man garnicht nachholen, wenn man noch andere vorlesungen
> hat.zumal montags 4 std vorlesung. dienstags wieder 2 wo es
> weiter geht und direkt anschließend 2
> übungsstunden....nur, wie kann man die übungen dienstags
> lösen, wenn nicht mal ein wochenende dazwischen war um
> sich mit dem thema auseinander zu setzen ?!?
4 Std. am Stück ist happig. Die Vorgehensweise, wie die Vorlesung gehalten
wird, aber gängig. Du bist nicht mehr in der Schule, Du sollst das selbstständig
erarbeiten. Ansonsten überlege Dir, ob eine FH nicht vielleicht tatsächlich
besser für Dich wäre. Das ist ernst gemeint, und hat rein mit der Struktur
der Veranstaltungen bzw. der Vorstellung des Vorlesungsstoffes zu tun,
warum ich Dich bitte, drüber nachzudenken.
>
>
> er zieht den stoff eiskalt auf hochmathematischer eben
> durch, sodass jemand, der noch nie was davon gehört hat,
> eigentlich einpacken kann und heim gehen kann, weil er nur
> fragezeichen im kopf hat..... um diese 4 std so zu
> verinnerlichen + das lernen und nachholen in anderen
> fächern, so viel freizeit hat man garnicht...oder man muss
> nachtmensch werden...
Nein. Du musst lernen, Dir Zeiten zum Lernen einzuplanen. Und schon
frühzeitig auch in Übungen oder bei Kommilitonen nachzufragen. Du bist
ja nicht der einzige Student!
> ich kenne die harmonische reihe schon, aber weiß jetzt
> nicht genau was mir das sagen soll....
Die Reihe
[mm] $\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k}$
[/mm]
divergiert, obwohl
[mm] $\frac{\frac{1}{k+1}}{\frac{1}{k}}=\frac{k}{k+1} [/mm] < 1$
stets gilt.
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:59 Sa 26.07.2014 | | Autor: | Smuji |
ich bin an einer FH, nur der dozent ist ein freak, der von irgendeiner uni kommt.....verschwendet vorlesungszeit in dem er oper singt und uns erzählt wie toll er doch ist, dass er viele patente hat, die allerdings nichts mehr einbringen...zudem hätte opernsänger werden können...
kaum erwähnt er irgendeinen mathematischen begriff, komtm er auf die idee ihn über dessen lateinische herkunft ind bezug zu irgendeiner oper zu sehen und spielt dann opern in youtube ab...
bei manchen leuten kann man echt nur den kopf schütteln
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:03 Sa 26.07.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> ich bin an einer FH, nur der dozent ist ein freak, der von
> irgendeiner uni kommt.....verschwendet vorlesungszeit in
> dem er oper singt und uns erzählt wie toll er doch ist,
> dass er viele patente hat, die allerdings nichts mehr
> einbringen...zudem hätte opernsänger werden können...
>
> kaum erwähnt er irgendeinen mathematischen begriff, komtm
> er auf die idee ihn über dessen lateinische herkunft ind
> bezug zu irgendeiner oper zu sehen und spielt dann opern in
> youtube ab...
>
>
> bei manchen leuten kann man echt nur den kopf schütteln
das klingt echt freakig.  An welcher FH bist Du denn (falls Dir die Frage nicht
zu persönlich ist - Du kannst es mir auch per PN schreiben, und wenn Du
mir schreibst, dass ich das nicht öffentlich machen soll, behalte ich es
auch für mich).
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:14 Sa 26.07.2014 | | Autor: | Smuji |
kein thema TechnischeHochschuleMittelhessen..... und ich meine gehört zu haben, dass unser prof von der TU Darmstadt kommt...
wie gesagt montag 4stunden physik anschließend 4 stunden mathe...dienstag 2 stunden mathe und 2 stunden matheübung....in der wir, dank des redeschwalls unseres dozenten nur vllt 2-4 aufgaben durchrechnen...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:49 Sa 26.07.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo Smuji,
>
> Was weißt Du über die harmonische Reihe?
>
> - nix....
alter Schwede...
> Cauchyscher Verdichtungssatz!
>
> - watn dat ?
>
Wenn er nicht in der Vorlesung dran kam, dann weißt Du wenigstens jetzt
mal etwas Neues von mir. Schlag' es nach (mit Wiki und Internet geht das
heutzutage doch ganz gut) oder frag' nach!
> Teleskopreihenmethode?
>
> - kenne nur teleskopschlagstöcke
Lies nach, was Teleskopsummen bzw. -reihen sind oder frag' nach.
> Majorantenkriterium?
>
> - nur den namen
Eines der wichtigsten Kriterien überhaupt. Ohne geometrische Reihe bzw.
geometrische Summenformel und dieses Kriterium tust Du Dir keinen
Gefallen, wenn Du Mathematik verstehen willst (jedenfalls im Bereich der
Analysis).
> ich glaube ich bete einfach, dass so eine aufgabe nicht
> dran kommt.....
Die Aufgabe ist eine der einfachsten, die man sich denken kann... Wer so
etwas nicht lösen kann, sollte meiner Meinung nach schon fast durchfallen.
Das ist vergleichbar damit, dass, wenn jemand die pq-Formel anwenden
will, noch nicht mal die einfachsten Bruchrechenmethoden kennt. Das kann
nur schiefgehen...
Ich frage mich hier des öfteren, ohne, dass das böse gemeint ist, nach
welcher Methode Du eigentlich lernst?
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:56 Sa 26.07.2014 | | Autor: | Smuji |
nun ja, die methode namens LITERATUR, habe ich festgestellt, läuft nicht gut..... nun versuche ich altklausuren durchzugehen und zu lernen + videos anschauen......
anfangs habe ich mir tolle literatur von papula geholt... wow...
der dozent erwähnt unter der woche vektorrechnung und matrizenrechnung...am wochenende nimmt man sich literatur..TOLL, matrizenrechnung und vektorrechnen sind knapp 300 seiten....die alle durchzuarbeiten dauert fast ein semester...arbeitet man sich da nicht durch und man überfliegt es nur, fehlen einen viele wichtige grundlagen.....und in der nächsten woche sind schon neue themen dran....
und am ende verschwendet man wochen für matrizenrechnung und vektorrechnung und es kommt NICHTS davon in der klausur dran...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:00 Sa 26.07.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> nun ja, die methode namens LITERATUR, habe ich
> festgestellt, läuft nicht gut..... nun versuche ich
> altklausuren durchzugehen und zu lernen + videos
> anschauen......
>
> anfangs habe ich mir tolle literatur von papula geholt...
> wow...
>
> der dozent erwähnt unter der woche vektorrechnung und
> matrizenrechnung...am wochenende nimmt man sich
> literatur..TOLL, matrizenrechnung und vektorrechnen sind
> knapp 300 seiten....die alle durchzuarbeiten dauert fast
> ein semester...arbeitet man sich da nicht durch und man
> überfliegt es nur, fehlen einen viele wichtige
> grundlagen.....und in der nächsten woche sind schon neue
> themen dran....
>
> und am ende verschwendet man wochen für matrizenrechnung
> und vektorrechnung und es kommt NICHTS davon in der klausur
> dran...
ich frag' mal anders (denn eigentlich fängt eine Literaturempfehlung erst
dann an, wenn man weiß, für wen und über was sie sein soll):
Was studierst Du genau? Welche Grundlagen aus der Mathematik benötigst
Du? Vielleicht ist es Dir ja auch erlaubt, Links zu Skripten zu verschicken,
sofern diese öffentlich zugänglich sind (bitte immer auf das Urheberrecht
achten)?
Der Papula ist meines Erachtens nach eigentlich besonders für praktische
Anwender in Ingenieurwissenschaften geeignet. Für Mathematiker finde ich
andere Literatur wesentlich besser (Heuser zum Beispiel - aber da bräuchtest
Du, aufgrund der Dicke des Werkes, nun jemanden, der Dir da sagt, was
davon für Dich jetzt momentan wichtig ist.)
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:17 Sa 26.07.2014 | | Autor: | Smuji |
ich studiere allgemeine elektrotechnik.....und was wir in mathe alles benötigen ?
bzw. was wir im semester alles durchgenommen haben ?
Mathematik 1
Logik und Mengenlehre
griechisches Alphabet
Aussage, Operatoren und Quantoren
Verknüpfung von Mengen
Abbildung ,Verke<ung von Abbildungen
natürliche, ganze, ra>onale, reelle und komplexe Zahlen
Terme, Gleichungen und Ungleichungen
Analy2sche Geometrie
Koordinatensystem, Vektoren und Basis
Skalar- und Vektorprodukt
Matrizen, Matrixmul>plika>on, transponierte und inverse Matrix
Determinanten
Gerade und Ebene, quadra>sche Formen
Lösung linearer Gleichungssysteme
Eigenwerte und Eigenvektoren
Funk2onen einer Variablen
Funk>onseigenschaQen
Ste>gkeit und Grenzwerte
Polynome, ra>onale Funk>on
Exponen>alfunk>on, Winkelfunk>onen und Exponen>alfunk>on im Komplexen
Differen2alrechnung einer Variablen
Ableitungsregeln, L'Hospitalsche Regel
Kurvendiskussion
Extremwertprobleme
Integralrechnung einer Variablen
Integralregeln
Rota>onskörper
Länge einer Kurve
Folgen und Reihen
Folgen: arithme>sch und geometrisch, Konvergenz und Divergenz
Reihen: Exponen>alreihe, Potenzreihen und Taylor-Reihe
Literaturempfehlung:
Literatur
– Papula, Mathematik fur Ingenieure und Naturwissenschaftler, Band 1 - 3 ¨
– Rießinger, Mathematik fur Ingenieure ¨
– Herrmann, H¨ohere Mathematik
– Kreyszig, Advanced Engineering Mathematics
– Forster, Analysis I + II,
– Fischer, Lineare Algebra
ich muss sagen, ich habe hier 4 altklausuren, die ich zu 80% drauf habe....ich hoffe das wird was.....fächer wie elektrotechnik, wo man dann mit matrizen rechnet und sie sinnvoll in der realität anwendet...viiiiieeelll interessenter...besonders da ich dadurch viel besser gelernt habe mit matrizen zu arbeiten, als wenn ich 2,3 übungsaufgaben in mathe durchgerechnet habe
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:35 Sa 26.07.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> ich studiere allgemeine elektrotechnik.....und was wir in
> mathe alles benötigen ?
>
> bzw. was wir im semester alles durchgenommen haben ?
>
>
>
> Mathematik 1
> Logik und Mengenlehre
> griechisches Alphabet
> Aussage, Operatoren und Quantoren
> Verknüpfung von Mengen
> Abbildung ,Verke<ung von Abbildungen
> natürliche, ganze, ra>onale, reelle und komplexe Zahlen
> Terme, Gleichungen und Ungleichungen
> Analy2sche Geometrie
> Koordinatensystem, Vektoren und Basis
> Skalar- und Vektorprodukt
>
> Matrizen, Matrixmul>plika>on, transponierte und inverse Matrix
> Determinanten
> Gerade und Ebene, quadra>sche Formen
> Lösung linearer Gleichungssysteme
> Eigenwerte und Eigenvektoren
> Funk2onen einer Variablen
> Funk>onseigenschaQen
> Ste>gkeit und Grenzwerte
> Polynome, ra>onale Funk>on
>
> Exponen>alfunk>on, Winkelfunk>onen und Exponen>alfunk>on im Komplexen
> Differen2alrechnung einer Variablen
> Ableitungsregeln, L'Hospitalsche Regel
> Kurvendiskussion
> Extremwertprobleme
> Integralrechnung einer Variablen
> Integralregeln
> Rota>onskörper
> Länge einer Kurve
> Folgen und Reihen
>
> Folgen: arithme>sch und geometrisch, Konvergenz und Divergenz
> Reihen: Exponen>alreihe, Potenzreihen und Taylor-Reihe
>
>
> Literaturempfehlung:
>
>
> Literatur
> – Papula, Mathematik fur Ingenieure und
> Naturwissenschaftler, Band 1 - 3 ¨
> – Rießinger, Mathematik fur Ingenieure ¨
> – Herrmann, H¨ohere Mathematik
> – Kreyszig, Advanced Engineering Mathematics
> – Forster, Analysis I + II,
> – Fischer, Lineare Algebra
okay, aber Deine Fragen sind hier doch jetzt überwiegend analytischer
Natur. Bei solchen Fragen entsprechend der Literaturempfehlung:
Forster I, Kapitel 3, 7 und 8 (Jedenfalls, was Folgen bzw. Reihen betrifft.
Ich kann aktuell auf die 11. Auflage zugreifen, entsprechend dieser sind
auch meine Kapitelbenennungen gemeint!)
Wobei ich den Forster jetzt, auf den ersten Blick, für jemanden, der solche
Schemata nicht gewöhnt ist, vielleicht am Anfang für etwas
gewöhnungsbedürftig halte. (Manchmal ist es vielleicht besser, man hat
zwei Exemplare des Buches zur Hand, wobei man das eine nur dazu benutzt,
um die Verweise nachzuschlagen.) Aber im Prinzip steht da schon vieles
von dem drin (vielleicht sogar alles), was ich hier benutzt hatte.
> ich muss sagen, ich habe hier 4 altklausuren, die ich zu
> 80% drauf habe....ich hoffe das wird was.....fächer wie
> elektrotechnik, wo man dann mit matrizen rechnet und sie
> sinnvoll in der realität anwendet...viiiiieeelll
> interessenter...besonders da ich dadurch viel besser
> gelernt habe mit matrizen zu arbeiten, als wenn ich 2,3
> übungsaufgaben in mathe durchgerechnet habe
Dann kann ich Dir nur sagen, dass Du eher ein "Learning-by-doing"-Typ
bist. Aber auch da sollte man erstmal ein Gefühl dafür bekommen, was man
machen darf, um wenigstens hinterher - wenn man etwas herausgefunden
hat - nicht selbst zu denken, dass das Zauberei war.
Ich denke halt auch immer halb-theoretisch, in dem Sinne, dass ich mir erst
überlege, ob ich nicht etwas kenne, was ich benutzen kann. Aber auch das
ist etwas, was man durch *machen* erlernt.
Sagen wir's mal so: Ich denke, Du willst immer bei einem konkreten Problem
einen Lösungsweg wissen, und dann interessiert Dich das auch gar nicht,
welche Theorie dahinter steckt. Du musst nur wissen, dass es was gab und
dass Du es korrekt angewendet hast.
Ich will schon, bevor ich etwas anwende, wissen und verstehen, was ich
da tue.
Das ist vielleicht der Unterschied unserer Herangehensweisen.
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:39 Sa 26.07.2014 | | Autor: | Smuji |
das will ich in der regel auch, nur ich habe festgestellt, dass es oftmals zu lange dauern würde, wenn ich alles mmögliche wissen will, warum, weshalb, wieso...dann müsste ich ein semester NUR mathe studieren...dann hätte ich vllt die zeit, bei den ganzen themen die ich dir gepostet habe, auch die ganzen hintergründe zu wissen...aber wenn man überlegt, dass ein semester wie dieses nur 4 monate lang ist und es noch viele andere fächer gibt und die präsenzzeit,anreise,abreise,pause auch noch viel zeit in anspruch nimmt, dann muss man die rosinen rauspicken...
zumal ja noch alltägliche probleme zeit in anspruch nehmen.....besonders wenn man nicht mehr bei mama und papa wohnt
würde mich auch gern noch tiefer und länger damit beschäftigen...habe allerdings das gefühl, ich bräuchte 2 leben
trotzdem vielen dank, dir !
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:58 Sa 26.07.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> das will ich in der regel auch, nur ich habe festgestellt,
> dass es oftmals zu lange dauern würde, wenn ich alles
> mmögliche wissen will, warum, weshalb, wieso...dann
> müsste ich ein semester NUR mathe studieren...dann hätte
> ich vllt die zeit, bei den ganzen themen die ich dir
> gepostet habe, auch die ganzen hintergründe zu
> wissen...aber wenn man überlegt, dass ein semester wie
> dieses nur 4 monate lang ist und es noch viele andere
> fächer gibt und die präsenzzeit,anreise,abreise,pause
> auch noch viel zeit in anspruch nimmt, dann muss man die
> rosinen rauspicken...
>
> zumal ja noch alltägliche probleme zeit in anspruch
> nehmen.....besonders wenn man nicht mehr bei mama und papa
> wohnt
>
>
>
>
> würde mich auch gern noch tiefer und länger damit
> beschäftigen...habe allerdings das gefühl, ich bräuchte
> 2 leben
das ist alles durchaus nachvollziehbar. Dennoch:
Was Deine Fragen bzgl. Konvergenz von Folgen und Reihen und Grenzwerte
von Folgen bzw. Reihenwerte betrifft:
Ich würde versuchen, die von mir genannten Kapitel zu verinnerlichen. Wie
gesagt: Ich sehe in dem, was dort vorgestellt wird, eigentlich fast alles
von dem, was ich benutzt habe, um Dir Deine Fragen zu beantworten. Das
Kapitel mit Potenzreihen wirst Du sicher später auch mal benötigen.
> trotzdem vielen dank, dir !
Kein Ding.
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:34 So 27.07.2014 | | Autor: | Smuji |
ok, ich danke dir !
|
|
|
|
