Welches Kriterium? < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:06 Mi 21.07.2010 | | Autor: | lzaman |
| Aufgabe | Untersuchen Sie die unendliche Reihe auf Konvergenz:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{\wurzel{7n^2+9}}{8n^2\cdot\wurzel{n+5}} [/mm] |
Nabend,
Welches Kriterium bietet sich hier an? Woran kann man es erkennen? Und wie würdet ihr weitermachen? Etwa die Wurzeln als [mm] (..)^{\bruch{1}{2}} [/mm] behandeln?
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{(7n^2+9)^{\bruch{1}{2}}}{8n^2\cdot(n+5)^{\bruch{1}{2}}}
[/mm]
Wenn ich ehrlich bin, bringt mich das auch nicht so recht weiter. Darf ich jetzt die [mm] n^2 [/mm] aus der Klammer ziehen? Wahrscheinlich hilft mir schon ein kleiner Tipp...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:37 Mi 21.07.2010 | | Autor: | Lippel |
> Untersuchen Sie die unendliche Reihe auf Konvergenz:
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{\wurzel{7n^2+9}}{8n^2\cdot\wurzel{n+5}}[/mm]
> Nabend,
>
> Welches Kriterium bietet sich hier an? Woran kann man es
> erkennen? Und wie würdet ihr weitermachen? Etwa die
> Wurzeln als [mm](..)^{\bruch{1}{2}}[/mm] behandeln?
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{(7n^2+9)^{\bruch{1}{2}}}{8n^2\cdot(n+5)^{\bruch{1}{2}}}[/mm]
>
> Wenn ich ehrlich bin, bringt mich das auch nicht so recht
> weiter. Darf ich jetzt die [mm]n^2[/mm] aus der Klammer ziehen?
> Wahrscheinlich hilft mir schon ein kleiner Tipp...
Versuche zu zeigen, dass [mm] $\summe_1^{\infty}\frac{1}{n^{\frac{3}{2}}}$ [/mm] konvergente Majorante ist.
[mm]\bruch{(7n^2+9)^{\bruch{1}{2}}}{8n^2\cdot(n+5)^{\bruch{1}{2}}} < \frac{1}{n^{\frac{3}{2}}} [/mm]
[mm] \gdw \left(\bruch{7n^2+9}{n+5}\right)^{\bruch{1}{2}} < 8n^{\frac{1}{2}} [/mm]
[mm] \gdw \bruch{7n^2+9}{n+5} < 64n ... [/mm]
Hoffe ich habe mich nicht vertan.
Viele Grüße, Lippel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:11 Mi 21.07.2010 | | Autor: | lzaman |
Eine gute idee mit der Majorante, aber wie kann [mm] (7n^2+9)^{\bruch{1}{2}}<1 [/mm] sein? Oder verstehe ich da etwas falsch? Das finde ich kompliziert mit der Majorante und würde mich über eine einfache Erläuterung (Erklärung) sehr freuen.
Ich weiss ja, dass nun eine Reihe [mm] \summe_{i=1}^{n}a_n [/mm] konvergiert wenn sie eine Majorante [mm] \summe_{i=1}^{n}b_n [/mm] mit [mm] |a_n|\le{}b_n [/mm] besitzt.
Also bin ich auf der Suche nach einer passenden konvergenten Majorante [mm] \summe_{i=1}^{n}b_n...
[/mm]
Vielleicht so:
[mm] \bruch{\wurzel{7n^2+9}}{8n^2\cdot\wurzel{n+5}}\le\bruch{n^2}{n^3}=\bruch{1}{n} [/mm] ???
Dann habe ich aber keine Konvergenz, man man man... bitte helft mir.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:59 Mi 21.07.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Eine gute idee mit der Majorante, aber wie kann
> [mm](7n^2+9)^{\bruch{1}{2}}<1[/mm] sein? Oder verstehe ich da etwas
> falsch? Das finde ich kompliziert mit der Majorante und
> würde mich über eine einfache Erläuterung (Erklärung)
> sehr freuen.
>
> Ich weiss ja, dass nun eine Reihe [mm]\summe_{i=1}^{n}a_n[/mm]
> konvergiert wenn sie eine Majorante [mm]\summe_{i=1}^{n}b_n[/mm] mit
> [mm]|a_n|\le{}b_n[/mm] besitzt.
>
> Also bin ich auf der Suche nach einer passenden
> konvergenten Majorante [mm]\summe_{i=1}^{n}b_n...[/mm]
>
> Vielleicht so:
>
> [mm]\bruch{\wurzel{7n^2+9}}{8n^2\cdot\wurzel{n+5}}\le\bruch{n^2}{n^3}=\bruch{1}{n}[/mm]
> ???
>
> Dann habe ich aber keine Konvergenz, man man man... bitte
> helft mir.
schau' mal hier. Entweder Du machst das analog, oder schaust Dir genau den zitierten Satz aus dem Heuser an.
Grob gesagt kann man oben mithilfe dieses Satzes sagen (das ist jetzt mathematisch weniger präzise, aber mithilfe des Satzes bzw. des Beweises (analog habe ich das beispielhaft in obigem Link vorgerechnet) kann man das auch mathematisch exakt formulieren; aber es geht erstmal um das "schnelle Erkennen des Konvergenzverhaltens mithilfe des Satzes"):
Bei der Reihe
[mm] $$\sum_{n=1}^\infty \bruch{\wurzel{7n^2+9}}{8n^2\cdot\wurzel{n+5}}$$
[/mm]
verhalten sich die Summanden für große [mm] $n\,$ [/mm] (bis auf eine feste, von [mm] $n\,$ [/mm] unabhängige, echt positive multiplikative Konstante) etwa so, wie
[mm] $$\frac{\sqrt{n^2}}{n^2*\sqrt{n}}\,.$$
[/mm]
Also hat die Reihe das gleiche Konvergenzverhalten wie
[mm] $$\sum_{n=1}^\infty \frac{\sqrt{n^2}}{n^2*\sqrt{n}}=\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^{3/2}}\,,$$
[/mm]
und da letztgenannte (etwa nach dem Cauchyschen Verdichtungssatz) konvergiert, konvergiert auch Deine Reihe.
Wenn Du das nun mathematisch exakter machen willst, dann z.B.
1.) Möglichkeit wie im Link:
Rechne nach, dass
[mm] $$\bruch{\wurzel{7n^2+9}}{8n^2\cdot\wurzel{n+5}}*n^{3/2} \to \sqrt{7}/8 [/mm] > 0 [mm] \;\;(n \to \infty)\,,$$
[/mm]
und benutze dies, um (ein) Restglied(er) der Ausgangsreihe abzuschätzen.
2.) Möglichkeit:
[mm] $$\sum_{n=1}^\infty \bruch{\wurzel{7n^2+9}}{8n^2\cdot\wurzel{n+5}}$$ [/mm]
und
[mm] $$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^{3/2}}$$
[/mm]
sind beides Reihen mit positiven Gliedern. Wenn Du nun nachweist, dass
[mm] $$\frac{\bruch{\wurzel{7n^2+9}}{8n^2\cdot\wurzel{n+5}}}{\frac{1}{n^{3/2}}}$$
[/mm]
gegen ein [mm] $\gamma [/mm] > 0$ konvergiert, so haben die Reihen nach dem Satz aus Heuser das gleiche Konvergenzverhalten.
Du siehst auch:
Man hat eigentlich zweimal das gleiche zu tun. Die erste Möglichkeit zeigt eigentlich nur, ob man den Beweis des Satzes aus dem Heuser auch verstanden hat bzw. diese so zu üben, dient zum Verständnis dieses Beweises.
Beste Grüße,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:05 Mi 21.07.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Eine gute idee mit der Majorante, aber wie kann
> [mm](7n^2+9)^{\bruch{1}{2}}<1[/mm] sein? Oder verstehe ich da etwas
> falsch? Das finde ich kompliziert mit der Majorante und
> würde mich über eine einfache Erläuterung (Erklärung)
> sehr freuen.
>
> Ich weiss ja, dass nun eine Reihe [mm]\summe_{i=1}^{n}a_n[/mm]
> konvergiert wenn sie eine Majorante [mm]\summe_{i=1}^{n}b_n[/mm] mit
> [mm]|a_n|\le{}b_n[/mm] besitzt.
>
> Also bin ich auf der Suche nach einer passenden
> konvergenten Majorante [mm]\summe_{i=1}^{n}b_n...[/mm]
>
> Vielleicht so:
>
> [mm]\bruch{\wurzel{7n^2+9}}{8n^2\cdot\wurzel{n+5}}\le\bruch{n^2}{n^3}=\bruch{1}{n}[/mm]
> ???
>
> Dann habe ich aber keine Konvergenz, man man man... bitte
> helft mir.
wenn man es direkt abschätzen will, hätte ich es so getan:
Es gilt [mm] $7n^2+9 \le 64n^2$ [/mm] für alle [mm] $n\,.$ [/mm] Also folgt
[mm] $$\bruch{\wurzel{7n^2+9}}{8n^2\cdot\wurzel{n+5}}\le\frac{8n}{8n^2\sqrt{n+5}}\le \frac{1}{n*\sqrt{n}}=1/n^{3/2}\,.$$
[/mm]
Beste Grüße,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 02:19 Mi 21.07.2010 | | Autor: | lzaman |
hallo marcel,
wie du im verlinkten Artikel schon gesagt hast, man braucht Erfahrung um das zu sehen...
Ich habe deshalb noch eine Frage um es besser zu verstehen:
Wie kommst du bei [mm] 7n^2+9 \le 64n^2 [/mm] auf die [mm] 64n^2 [/mm] (etwa abgeschätzt?)?
P.S. Das abgeschätzte Verfahren reicht schon bei uns Ingenieuren, wir beweisen nicht, sondern wenden nur Mathematik an...
Danke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:36 Mi 21.07.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> hallo marcel,
>
> wie du im verlinkten Artikel schon gesagt hast, man braucht
> Erfahrung um das zu sehen...
>
> Ich habe deshalb noch eine Frage um es besser zu
> verstehen:
>
> Wie kommst du bei [mm]7n^2+9 \le 64n^2[/mm] auf die [mm]64n^2[/mm] (etwa
> abgeschätzt?)?
naja, ich habe naturlich geguckt, dass ich zum einen [mm] $8n\,$ [/mm] wegkürzen kann, und es ist [mm] $8n=\sqrt{64n^2}\,.$ [/mm] Damit habe ich geprüft, ob denn nun wirklich
[mm] $$\sqrt{7n^2+9} \le 8n=\sqrt{64n^2}$$
[/mm]
gilt. Und das
[mm] $$7n^2+9 \le 64n^2$$
[/mm]
gilt, stimmt, weil:
[mm] $$7n^2+9 \le 64n^2$$
[/mm]
[mm] $$\gdw [/mm] 9 [mm] \le 57n^2$$
[/mm]
[mm] $$\gdw n^2 \ge \frac{9}{57}\,.$$ [/mm]
Da letzteres für alle $n [mm] \in \IN$ [/mm] gilt (uns würde es auch, da wir dann das Restglied der Reihe abschätzen können, reichen, wenn es ab einem [mm] $n_0$ [/mm] gilt), kannst Du sagen:
Aus $n [mm] \in \IN$ [/mm] folgt $n [mm] \ge [/mm] 1$ und damit
[mm] $$n^2 \ge [/mm] 1$$
[mm] $$\Rightarrow n^2 \ge \frac{9}{57}$$
[/mm]
[mm] $$\Rightarrow [/mm] 9 [mm] \le 57n^2$$
[/mm]
[mm] $$\Rightarrow 7n^2+9 \le 7n^2+57n^2=64n^2\,.$$
[/mm]
> P.S. Das abgeschätzte Verfahren reicht schon bei uns
> Ingenieuren, wir beweisen nicht, sondern wenden nur
> Mathematik an...
Das "Verfahren, mit einer konvergenten Majorante (oder in anderen Fällen: Mit einer divergenten Minorante) abzuschätzen" (Majorantenkriterium) ist ja nun wirklich etwas mathematisches. Worauf ich bei dem "Verhalten für große [mm] $n\,$" [/mm] hinauswollte, ist, dass Du in vielen ähnlichen Fällen "schneller erkennst", wie sich Deine Reihe für große [mm] $n\,$ [/mm] verhält und damit schnell Aussagen über das Konvergenzverhalten treffen kannst.
Z.B.
[mm] $$\sum_{n=1}^\infty \frac{\sqrt[7]{2013n^{15}+7n^5+2n^2}}{\sqrt[8]{3n^{20}+5n^4}}\,.$$
[/mm]
Für große [mm] $n\,$ [/mm] sehen die Summanden etwa aus wie (mit einem $C > [mm] 0\,$)
[/mm]
[mm] $$C*\frac{n^{15/7}}{n^{20/8}}=C*\frac{1}{n^{20/8\;-15/7}}\,,$$
[/mm]
und weil [mm] $20/8\;-15/7=(140-120)/56 [/mm] < 1$ ist, divergiert die obige Reihe.
Beste Grüße,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 02:40 Mi 21.07.2010 | | Autor: | lzaman |
Danke für deine Mühe Marcel. Das war sehr sehr gut erklärt, ich denke ich habs jetzt begriffen.
Gruß
Lzaman
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:20 Mi 21.07.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Untersuchen Sie die unendliche Reihe auf Konvergenz:
> >
> >
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{\wurzel{7n^2+9}}{8n^2\cdot\wurzel{n+5}}[/mm]
> > Nabend,
> >
> > Welches Kriterium bietet sich hier an? Woran kann man es
> > erkennen? Und wie würdet ihr weitermachen? Etwa die
> > Wurzeln als [mm](..)^{\bruch{1}{2}}[/mm] behandeln?
> >
> >
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{(7n^2+9)^{\bruch{1}{2}}}{8n^2\cdot(n+5)^{\bruch{1}{2}}}[/mm]
> >
> > Wenn ich ehrlich bin, bringt mich das auch nicht so recht
> > weiter. Darf ich jetzt die [mm]n^2[/mm] aus der Klammer ziehen?
> > Wahrscheinlich hilft mir schon ein kleiner Tipp...
>
> Versuche zu zeigen, dass
> [mm]\summe_1^{\infty}\frac{1}{n^{\frac{3}{2}}}[/mm] konvergente
> Majorante ist.
>
> [mm]\bruch{(7n^2+9)^{\bruch{1}{2}}}{8n^2\cdot(n+5)^{\bruch{1}{2}}} < \frac{1}{n^{\frac{3}{2}}}[/mm]
>
> [mm]\gdw \left(\bruch{7n^2+9}{n+5}\right)^{\bruch{1}{2}} < 8n^{\frac{1}{2}}[/mm]
>
> [mm]\gdw \bruch{7n^2+9}{n+5} < 64n ...[/mm]
das ist natürlich die "Holzhammer-Methode", indem man eine Ungleichung behauptet, und dann durch (unnötig viele) Äquivalenzumformungen und Rechnerei hoffentlich zu einer offensichtlich wahren Aussage gelangt. Geeigneter sind bei sowas meist "in einer Kette aufeinander folgende passende Abschätzungen".
Anderes Beispiel, wo Du "holzhammermäßig" losrechnen würdest:
Man beweise, dass [mm] $\frac{1}{n^7+5n^4-2n^2+1}$ [/mm] stets irgendwann $< [mm] \epsilon$ [/mm] (mit [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ fest) sein wird. Dann würdest Du ansetzen:
[mm] $$\frac{1}{n^7+5n^4-2n^2+1} [/mm] < [mm] \epsilon$$
[/mm]
[mm] $$\gdw \frac{1}{\epsilon} [/mm] < [mm] n^7+5n^4-2n^2+1$$
[/mm]
und weiter dran rumrechnen.
Dabei ist alles wegen der Ungleichungskette
[mm] $$\frac{1}{n^7+5n^4-2n^2+1} \le \frac{1}{n^7} \le \frac{1}{n}$$
[/mm]
und $1/n [mm] \to [/mm] 0$ klar.
P.S.:
Bei einem solchen Ansatz solltest Du zudem auch beachten, dass man am besten eine multiplikative Konstante (die echt positiv ist) mitschleppen sollte. Hier ist das nicht notwendig, aber:
Wäre
[mm] $$\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{(137n^2+9)^{\bruch{1}{2}}}{8n^2\cdot(n+5)^{\bruch{1}{2}}}$$
[/mm]
zu untersuchen gewesen, so hätte man nicht mehr [mm] $\sum 1/n^{3/2}$ [/mm] als Majorante nehmen können, aber [mm] $C*\sum 1/n^{3/2}=\sum C/n^{3/2}$ [/mm] mit einem geeigneten $C > [mm] 0\,.$
[/mm]
Beste Grüße,
Marcel
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