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Wellengl. mit RB Reflexionsmet: Hilfe, Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:22 Fr 22.04.2016
Autor: riju

Aufgabe
Lösen Sie mittels der Reflexionsmethode das folgende Anfangs-Randwertproblem für die eindimensionale Wellengleichung analytisch:

[mm] u_{tt}=c^{2}u_{xx} [/mm] in [mm] \IR \times (0,1) [/mm] unten den Randbedingungen [mm] u(t,0)=0=u(t,1) [/mm]
zu den Anfangsbedingungen [mm] u(0,x)=\bruch{1}{c \pi} sin(\pi x), u_{t}(0,x)=sin(\pi x) [/mm].

Also ich weiß, dass ich Dirichlet-Randbedingungen habe und die Randbedingungen irgendwie ungerade fortsetzen muss (da [mm] sin [/mm] eine ungerage Funktion ist).

Als erstes habe ich mit Hilfe der d'Alembert-Formel die PDGL gelöst.
Da erhalte ich:
[mm] u(t,x)=\bruch{1}{2 c \pi}(sin(\pi(x+ct))+sin(\pi(x-ct))+cos(\pi(x-ct))-cos(\pi(x+ct))) [/mm]

Die Lösung stimmt für die Randbedingung [mm]u(t,0)=0[/mm]. Allerdings weiß ich nicht, was ich mit den Randbedingungen machen muss.
Vielleicht kann mir da jemand helfen.
Wie setzte ich die ungerade fort? Und was muss ich bei meiner Lösung beachten?

Vielen Dank im Voraus.

Liebe Grüße
riju

        
Bezug
Wellengl. mit RB Reflexionsmet: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:44 Fr 22.04.2016
Autor: fred97


> Lösen Sie mittels der Reflexionsmethode das folgende
> Anfangs-Randwertproblem für die eindimensionale
> Wellengleichung analytisch:
>  
> [mm]u_{tt}=c^{2}u_{xx}[/mm] in [mm]\IR \times (0,1)[/mm] unten den
> Randbedingungen [mm]u(t,0)=0=u(t,1)[/mm]
> zu den Anfangsbedingungen [mm]u(0,x)=\bruch{1}{c \pi} sin(\pi x), u_{t}(0,x)=sin(\pi x) [/mm].
>  
> Also ich weiß, dass ich Dirichlet-Randbedingungen habe und
> die Randbedingungen irgendwie ungerade fortsetzen muss (da
> [mm]sin[/mm] eine ungerage Funktion ist).
>  
> Als erstes habe ich mit Hilfe der d'Alembert-Formel die
> PDGL gelöst.
>  Da erhalte ich:
>  [mm]u(t,x)=\bruch{1}{2 c \pi}(sin(\pi(x+ct))+sin(\pi(x-ct))+cos(\pi(x-ct))-cos(\pi(x+ct)))[/mm]
>  
> Die Lösung stimmt für die Randbedingung [mm]u(t,0)=0[/mm].
> Allerdings weiß ich nicht, was ich mit den Randbedingungen
> machen muss.
>  Vielleicht kann mir da jemand helfen.
>  Wie setzte ich die ungerade fort? Und was muss ich bei
> meiner Lösung beachten?
>  


Ich verstehe Dein Problem nicht. Auch die Randbedingung u(t,1)=0 ist erfüllt.

Ebenso sind $ [mm] u(0,x)=\bruch{1}{c \pi} sin(\pi [/mm] x)$ und $ [mm] u_{t}(0,x)=sin(\pi [/mm] x) $ erfüllt.

FRED


> Vielen Dank im Voraus.
>  
> Liebe Grüße
>  riju


Bezug
                
Bezug
Wellengl. mit RB Reflexionsmet: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:47 Fr 22.04.2016
Autor: riju


> > Lösen Sie mittels der Reflexionsmethode das folgende
> > Anfangs-Randwertproblem für die eindimensionale
> > Wellengleichung analytisch:
>  >  
> > [mm]u_{tt}=c^{2}u_{xx}[/mm] in [mm]\IR \times (0,1)[/mm] unten den
> > Randbedingungen [mm]u(t,0)=0=u(t,1)[/mm]
> > zu den Anfangsbedingungen [mm]u(0,x)=\bruch{1}{c \pi} sin(\pi x), u_{t}(0,x)=sin(\pi x) [/mm].


>  
> >  

> > Also ich weiß, dass ich Dirichlet-Randbedingungen habe und
> > die Randbedingungen irgendwie ungerade fortsetzen muss (da
> > [mm]sin[/mm] eine ungerage Funktion ist).
>  >  
> > Als erstes habe ich mit Hilfe der d'Alembert-Formel die
> > PDGL gelöst.
>  >  Da erhalte ich:
>  >  [mm]u(t,x)=\bruch{1}{2 c \pi}(sin(\pi(x+ct))+sin(\pi(x-ct))+cos(\pi(x-ct))-cos(\pi(x+ct)))[/mm]
>  
> >  

> > Die Lösung stimmt für die Randbedingung [mm]u(t,0)=0[/mm].
> > Allerdings weiß ich nicht, was ich mit den Randbedingungen
> > machen muss.
>  >  Vielleicht kann mir da jemand helfen.
>  >  Wie setzte ich die ungerade fort? Und was muss ich bei
> > meiner Lösung beachten?
>  >  
>
>
> Ich verstehe Dein Problem nicht. Auch die Randbedingung
> u(t,1)=0 ist erfüllt.
>  
> Ebenso sind [mm]u(0,x)=\bruch{1}{c \pi} sin(\pi x)[/mm] und
> [mm]u_{t}(0,x)=sin(\pi x)[/mm] erfüllt.
>  
> FRED
>  

Somit ist das Problem gelöst?
Ich verstehe, dass mit den Randbedingungen nicht. Ich hab die eigentlich nicht beachtet bei der Aufstellung von [mm] u(t,x) [/mm].

riju

>
> > Vielen Dank im Voraus.
>  >  
> > Liebe Grüße
>  >  riju
>  


Bezug
                        
Bezug
Wellengl. mit RB Reflexionsmet: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:54 Fr 22.04.2016
Autor: fred97


> > > Lösen Sie mittels der Reflexionsmethode das folgende
> > > Anfangs-Randwertproblem für die eindimensionale
> > > Wellengleichung analytisch:
>  >  >  
> > > [mm]u_{tt}=c^{2}u_{xx}[/mm] in [mm]\IR \times (0,1)[/mm] unten den
> > > Randbedingungen [mm]u(t,0)=0=u(t,1)[/mm]
> > > zu den Anfangsbedingungen [mm]u(0,x)=\bruch{1}{c \pi} sin(\pi x), u_{t}(0,x)=sin(\pi x) [/mm].
>  
>
> >  

> > >  

> > > Also ich weiß, dass ich Dirichlet-Randbedingungen habe und
> > > die Randbedingungen irgendwie ungerade fortsetzen muss (da
> > > [mm]sin[/mm] eine ungerage Funktion ist).
>  >  >  
> > > Als erstes habe ich mit Hilfe der d'Alembert-Formel die
> > > PDGL gelöst.
>  >  >  Da erhalte ich:
>  >  >  [mm]u(t,x)=\bruch{1}{2 c \pi}(sin(\pi(x+ct))+sin(\pi(x-ct))+cos(\pi(x-ct))-cos(\pi(x+ct)))[/mm]
>  
> >  

> > >  

> > > Die Lösung stimmt für die Randbedingung [mm]u(t,0)=0[/mm].
> > > Allerdings weiß ich nicht, was ich mit den Randbedingungen
> > > machen muss.
>  >  >  Vielleicht kann mir da jemand helfen.
>  >  >  Wie setzte ich die ungerade fort? Und was muss ich
> bei
> > > meiner Lösung beachten?
>  >  >  
> >
> >
> > Ich verstehe Dein Problem nicht. Auch die Randbedingung
> > u(t,1)=0 ist erfüllt.
>  >  
> > Ebenso sind [mm]u(0,x)=\bruch{1}{c \pi} sin(\pi x)[/mm] und
> > [mm]u_{t}(0,x)=sin(\pi x)[/mm] erfüllt.
>  >  
> > FRED
>  >  
>
> Somit ist das Problem gelöst?
>  Ich verstehe, dass mit den Randbedingungen nicht. Ich hab
> die eigentlich nicht beachtet bei der Aufstellung von
> [mm]u(t,x) [/mm].
>  


Wie hast Du denn  [mm]u(t,x) [/mm] berechnet ?

FRED

> riju
>  
> >
> > > Vielen Dank im Voraus.
>  >  >  
> > > Liebe Grüße
>  >  >  riju
> >  

>  


Bezug
                                
Bezug
Wellengl. mit RB Reflexionsmet: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 12:06 Fr 22.04.2016
Autor: riju


> > > > Lösen Sie mittels der Reflexionsmethode das folgende
> > > > Anfangs-Randwertproblem für die eindimensionale
> > > > Wellengleichung analytisch:
>  >  >  >  
> > > > [mm]u_{tt}=c^{2}u_{xx}[/mm] in [mm]\IR \times (0,1)[/mm] unten den
> > > > Randbedingungen [mm]u(t,0)=0=u(t,1)[/mm]
> > > > zu den Anfangsbedingungen [mm]u(0,x)=\bruch{1}{c \pi} sin(\pi x), u_{t}(0,x)=sin(\pi x) [/mm].
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> > > >  

> > > > Also ich weiß, dass ich Dirichlet-Randbedingungen habe und
> > > > die Randbedingungen irgendwie ungerade fortsetzen muss (da
> > > > [mm]sin[/mm] eine ungerage Funktion ist).
>  >  >  >  
> > > > Als erstes habe ich mit Hilfe der d'Alembert-Formel die
> > > > PDGL gelöst.
>  >  >  >  Da erhalte ich:
>  >  >  >  [mm]u(t,x)=\bruch{1}{2 c \pi}(sin(\pi(x+ct))+sin(\pi(x-ct))+cos(\pi(x-ct))-cos(\pi(x+ct)))[/mm]
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> > > >  

> > > > Die Lösung stimmt für die Randbedingung [mm]u(t,0)=0[/mm].
> > > > Allerdings weiß ich nicht, was ich mit den Randbedingungen
> > > > machen muss.
>  >  >  >  Vielleicht kann mir da jemand helfen.
>  >  >  >  Wie setzte ich die ungerade fort? Und was muss
> ich
> > bei
> > > > meiner Lösung beachten?
>  >  >  >  
> > >
> > >
> > > Ich verstehe Dein Problem nicht. Auch die Randbedingung
> > > u(t,1)=0 ist erfüllt.
>  >  >  
> > > Ebenso sind [mm]u(0,x)=\bruch{1}{c \pi} sin(\pi x)[/mm] und
> > > [mm]u_{t}(0,x)=sin(\pi x)[/mm] erfüllt.
>  >  >  
> > > FRED
>  >  >  
> >
> > Somit ist das Problem gelöst?
>  >  Ich verstehe, dass mit den Randbedingungen nicht. Ich
> hab
> > die eigentlich nicht beachtet bei der Aufstellung von
> > [mm]u(t,x) [/mm].
>  >  
>
>
> Wie hast Du denn  [mm]u(t,x)[/mm] berechnet ?
>  
> FRED

Wir haben in der Vorlesung für die Wellengleichung die d'Alembert-Formel hergeleitet. Die lautet:
[mm] u(t,x)=\bruch{1}{2}(u_{0}(x+ct)+u_{0}(x-ct))+\bruch{1}{2c}\integral_{x-ct}^{x+ct}{u_{1}(y) dy} [/mm]
mit der Anfangsauslenkung [mm]u(0,x)=u_{0}(x) [/mm] und einer Anfangsgeschwindigkeit [mm] u_{t}(0,x)=u_{1}(x) [/mm].

Somit habe ich nur in [mm] u(t,x) [/mm] meine Anfangsbedingungen eingesetzt und ausgerechnet. Die Randbedingungen habe ich allerdings nirgendwo berücksichtigt. Ich verstehe, dass auch mit der ungeraden Fortsetzung nicht.

Liebe Grüße
riju

>  > riju

>  >  
> > >
> > > > Vielen Dank im Voraus.
>  >  >  >  
> > > > Liebe Grüße
>  >  >  >  riju
> > >  

> >  

>  


Bezug
                                        
Bezug
Wellengl. mit RB Reflexionsmet: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:20 So 24.04.2016
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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