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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:53 Mo 15.02.2010 | | Autor: | Zweiti |
| Aufgabe | Lösen sie die Wellengleichung
[mm] u_{tt}(x,t)-u_{xx}(x,t)=0 [/mm] , $1<x<1, t>0$
mit den folgenden Rand- und Anfangsbedingungen :
$u(-1,t)=0, u(1,t)=0, t>0$
[mm] u(x,0)=\begin{cases} 1+x, & -1 \le x \le 0 \\ 1-x, & 0 \le x \le 1 \end{cases}
[/mm]
[mm] u_t(x,0)=0, [/mm] $-1<x<1$ |
Hallo allerseits,
ich schreibe in wenigen Tagen eine Klausur unter anderem zu dem Thema PDE 2. Ordnung. Leider kann ich damit nicht allzu viel anfangen.
Ich habe versucht die obige Gleichung laut unserer Vorlesung zu lösen, hänge aber nun fest.
$u(x,t)=X(x)T(t)$
[mm] u_{tt}(x,t)=X(x)T''(t)
[/mm]
[mm] u_{xx}(x,t)=X''(x)T(t)
[/mm]
Wenn ich das in die obige Gleichung einsetze ergibt sich:
$X(x)T''(t)=X''(X)T(t)$
[mm] \bruch{T''(T)}{T}=\bruch{X''(x)}{X(x)}=-\lambda.
[/mm]
Das [mm] \lambda [/mm] hab ich aus der Vorlesung übernommen, doch woher kommt es eigentlich?
[mm] $X''(x)+\lambda [/mm] X(x)=0 $
So und ab hier weiß ich nicht weiter was mache ich jetzt mit dieser Gleichung?
Danke
Zweiti
P.s. Ich hab diese Frage in keinem anderen Forum gestelt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:31 Mo 15.02.2010 | | Autor: | pelzig |
> Ich habe versucht die obige Gleichung laut unserer
> Vorlesung zu lösen, hänge aber nun fest.
> [mm]u(x,t)=X(x)T(t)[/mm]
Ja, das ist der sog. Separationsansatz. Der klappt wohl oft, manchmal aber vielleicht auch nicht, v.a. wenn dann die Anfangsdaten ins Spiel kommen...
> [mm]u_{tt}(x,t)=X(x)T''(t)[/mm]
> [mm]u_{xx}(x,t)=X''(x)T(t)[/mm]
> Wenn ich das in die obige Gleichung einsetze ergibt sich:
> [mm]X(x)T''(t)=X''(X)T(t)[/mm]
> [mm]\bruch{T''(T)}{T}=\bruch{X''(x)}{X(x)}=-\lambda.[/mm]
> Das [mm]\lambda[/mm] hab ich aus der Vorlesung übernommen, doch
> woher kommt es eigentlich?
Wenn die Gleichung $X(x)T''(t)=X''(x)T(t)$ für alle [mm] $x\in[-1,1]$ [/mm] und [mm] $t\in(0,\infty)$ [/mm] gelten soll, dann folgt für festes [mm] $t_0>0$ [/mm] und [mm] $x_0\in[-1,1]$:
[/mm]
1) [mm] $X(x)/X''(x)=T(t_0)/T''(t_0)$, [/mm] d.h. der Quotient $X(x)/X''(x)$ ist jedenfalls konstant, z.B. $X(x)/X''(x)=a$.
2) Umgekehrt ist dann auch [mm] $T(t)/T''(t)=X(x_0)/X''(x_0)$ [/mm] konstant, aber nach 1) ist [mm] $X(x_0)/X''(x_0)=a$.
[/mm]
Also folgt mit [mm] $\lambda:=-a$ [/mm] die gesuchte Beziehung. Das ist überhaupt der Grund warum der obige Ansatz auch "Separationsansatz" heißt, denn nun hat man die PDE in zwei unabhängige ODE's "separiert".
> [mm]X''(x)+\lambda X(x)=0[/mm]
> So und ab hier weiß ich nicht
> weiter was mache ich jetzt mit dieser Gleichung?
Das ist ne homogene lin. DGL. Wie man die löst solltest du eigentlich wissen, dafür gibt es ein Kochrezept. Die Physikermethode ist übrigens den Ansatz [mm] $X(x):=e^{at}$ [/mm] zu wählen und den Parameter a durch einsetzen in die DGL zu bestimmen.
Gruß, Robert
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:06 Mo 15.02.2010 | | Autor: | gfm |
Eine Lösung kann man auch in der Form [mm] u(x,t)=g(r)|_{r=x+t}+h(r)|_{r=x-t} [/mm] schreiben.
Aus den Anfangsbedingungen erhält man dann zwei Gleichgungen für g und h, aus denen man Sie bestimmen kann:
g(r)+h(r)=u(r,0)=:a(r)
[mm] g'(r)+h'(r)=\partial_{t}u(r,0)=:b(r) \Rightarrow g(r)+h(r)=\integral_{r'}^{r}b(s)ds
[/mm]
Für r und r' setzt man x+t bzw. x-t ein und löst nach g und h auf.
LG
gfm
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