Wellengleichung < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:31 Mo 28.05.2012 | | Autor: | Lustique |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass für jedes $f\in C^2(\mathbb{R})$ und $v\in \mathbb{R}^n$ mit $\lVert v\rVert_2=1$ durch
$\psi\colon \mathbb{R}^n\times \mathbb{R}\to\mathbb{R}, \qquad \psi(x,t)=f\left(\sum_{i=1}^n v_i x_i-t\right)$
eine Lösung der Wellengleichung $\Delta_x \psi-\partial_t^2 \psi=0$ ist. |
Hallo zusammen,
dieses Mal könnte ich jemanden gebrauchen, der mal meinen Rechenweg kontrollieren würde. Ich habe zwar schon was, und ich komme auch da an, wo ich hin will, aber irgendwie ging das so schnell und leicht, dass mich das doch etwas stutzig macht. 
Also, im Folgenden mein Rechenweg:
Es gilt $f\in C^2(\mathbb{R})$, also ist, wenn mich die Notation nicht täuscht, $f$ zweimal (total) stetig differenzierbar, was auch heißt, dass $f$ zweimal partiell differenzierbar ist.
Nun habe ich mir mal gedacht, ich gucke mir mal zuerst das Argument von $f$ in $\psi$ an, weil ich den ganzen Spaß ja schließlich auch zweimal partiell ableiten muss:
$\sum_{i=1}^n v_i x_i-t=\left(v_1 x_1+v_2 x_2+\dotsb+v_n x_n\right) -t$ Hier war ich mir nun schon zum ersten Mal nicht sicher, da ich nicht genau wusste, ob das $t$ noch unter die Summe gehört (dann wäre es ja $-nt$), oder ob es so wie hier richtig ist. (Ich habe zuerst die Version mit $-nt$ genommen, aber das schien am Ende nicht aufzugehen, deswegen habe ich mich dann dagegen entschieden. :D)
Dann weiter: $\displaystyle\underset{1\leqslant j\leqslant n}{\partial_{x_j}}\left(\sum_{i=1}^n v_i x_i-t \right) = v_j$ und $\partial_t\left(\sum_{i=1}^n v_i x_i-t \right) = -1$.
Der folgende Schritt macht mir am meisten Sorgen:
$\partial_{x_j}}\left(f\left(\sum_{i=1}^n v_i x_i-t \right)\right)=v_j\cdot f'\left(\sum_{i=1}^n v_i x_i-t \right)$
Ich habe ja hier praktisch die Kettenregel benutzt, und das erst mal ohne (viel) nachzudenken, aber im Grunde genommen leite ich ja hier "eindimensional" ab, sozusagen, bin also im $\mathbb{R}^1$, und dann müsste das doch eigentlich so funktionieren, oder? Falls ja, müsste ich das dann noch weiter begründen, oder würde das reichen?
Dann das Ganze noch ein zweites Mal:
$\partial^2_{x_j}}\left(f\left(\sum_{i=1}^n v_i x_i-t \right)\right)=\partial_{x_j}\left(v_j\cdot f'\left(\sum_{i=1}^n v_i x_i-t \right)\right)=v_j^2\cdot f''\left(\sum_{i=1}^n v_i x_i-t \right)$.
Es folgt also (wenn bis dahin alles richtig sein sollte):
$\Delta_x\psi=\sum_{j=1}^n\left( v_j^2\cdot f''\left(\sum_{i=1}^n v_i x_i-t \right)\right)=\lVert v\rVert_2^2 \cdot f''\left(\sum_{i=1}^n v_i x_i-t \right)$.
Mit $\partial_t f\left(\sum_{i=1}^n v_i x_i-t \right) = -f'\left(\sum_{i=1}^n v_i x_i-t \right)$ und $\partial^2_t f\left(\sum_{i=1}^n v_i x_i-t \right) = f''\left(\sum_{i=1}^n v_i x_i-t \right)$, würde dann folgen:
$\Delta_x\psi-\partial^2_t\psi=\lVert v\rVert_2^2 \cdot f''\left(\sum_{i=1}^n v_i x_i-t \right)- f''\left(\sum_{i=1}^n v_i x_i-t \right)=1\cdot f''\left(\sum_{i=1}^n v_i x_i-t \right)- f''\left(\sum_{i=1}^n v_i x_i-t \right) =0$,
und ich wäre fertig, aber irgendwie traue ich dem Ganzen nicht...
Könntet ihr das Ganze vielleicht mal kontrollieren?
|
|
| |
|
Hallo Lustique,
> Zeigen Sie, dass für jedes [mm]f\in C^2(\mathbb{R})[/mm] und [mm]v\in \mathbb{R}^n[/mm]
> mit [mm]\lVert v\rVert_2=1[/mm] durch
>
> [mm]\psi\colon \mathbb{R}^n\times \mathbb{R}\to\mathbb{R}, \qquad \psi(x,t)=f\left(\sum_{i=1}^n v_i x_i-t\right)[/mm]
>
> eine Lösung der Wellengleichung [mm]\Delta_x \psi-\partial_t^2 \psi=0[/mm]
> ist.
>
>
> Hallo zusammen,
>
> dieses Mal könnte ich jemanden gebrauchen, der mal meinen
> Rechenweg kontrollieren würde. Ich habe zwar schon was,
> und ich komme auch da an, wo ich hin will, aber irgendwie
> ging das so schnell und leicht, dass mich das doch etwas
> stutzig macht.
>
> Also, im Folgenden mein Rechenweg:
>
> Es gilt [mm]f\in C^2(\mathbb{R})[/mm], also ist, wenn mich die
> Notation nicht täuscht, [mm]f[/mm] zweimal (total) stetig
> differenzierbar, was auch heißt, dass [mm]f[/mm] zweimal partiell
> differenzierbar ist.
>
> Nun habe ich mir mal gedacht, ich gucke mir mal zuerst das
> Argument von [mm]f[/mm] in [mm]\psi[/mm] an, weil ich den ganzen Spaß ja
> schließlich auch zweimal partiell ableiten muss:
>
> [mm]\sum_{i=1}^n v_i x_i-t=\left(v_1 x_1+v_2 x_2+\dotsb+v_n x_n\right) -t[/mm]
> Hier war ich mir nun schon zum ersten Mal nicht sicher, da
> ich nicht genau wusste, ob das [mm]t[/mm] noch unter die Summe
> gehört (dann wäre es ja [mm]-nt[/mm]), oder ob es so wie hier
> richtig ist. (Ich habe zuerst die Version mit [mm]-nt[/mm] genommen,
> aber das schien am Ende nicht aufzugehen, deswegen habe ich
> mich dann dagegen entschieden. :D)
>
> Dann weiter: [mm]\displaystyle\underset{1\leqslant j\leqslant n}{\partial_{x_j}}\left(\sum_{i=1}^n v_i x_i-t \right) = v_j[/mm]
> und [mm]\partial_t\left(\sum_{i=1}^n v_i x_i-t \right) = -1[/mm].
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Der folgende Schritt macht mir am meisten Sorgen:
>
> [mm]\partial_{x_j}}\left(f\left(\sum_{i=1}^n v_i x_i-t \right)\right)=v_j\cdot f'\left(\sum_{i=1}^n v_i x_i-t \right)[/mm] #
Stimmt so.
>
> Ich habe ja hier praktisch die Kettenregel benutzt, und das
> erst mal ohne (viel) nachzudenken, aber im Grunde genommen
> leite ich ja hier "eindimensional" ab, sozusagen, bin also
> im [mm]\mathbb{R}^1[/mm], und dann müsste das doch eigentlich so
> funktionieren, oder? Falls ja, müsste ich das dann noch
> weiter begründen, oder würde das reichen?
>
> Dann das Ganze noch ein zweites Mal:
> [mm]\partial^2_{x_j}}\left(f\left(\sum_{i=1}^n v_i x_i-t \right)\right)=\partial_{x_j}\left(v_j\cdot f'\left(\sum_{i=1}^n v_i x_i-t \right)\right)=v_j^2\cdot f''\left(\sum_{i=1}^n v_i x_i-t \right)[/mm].
>
> Es folgt also (wenn bis dahin alles richtig sein sollte):
>
> [mm]\Delta_x\psi=\sum_{j=1}^n\left( v_j^2\cdot f''\left(\sum_{i=1}^n v_i x_i-t \right)\right)=\lVert v\rVert_2^2 \cdot f''\left(\sum_{i=1}^n v_i x_i-t \right)[/mm].
>
> Mit [mm]\partial_t f\left(\sum_{i=1}^n v_i x_i-t \right) = -f'\left(\sum_{i=1}^n v_i x_i-t \right)[/mm]
> und [mm]\partial^2_t f\left(\sum_{i=1}^n v_i x_i-t \right) = f''\left(\sum_{i=1}^n v_i x_i-t \right)[/mm],
> würde dann folgen:
>
> [mm]\Delta_x\psi-\partial^2_t\psi=\lVert v\rVert_2^2 \cdot f''\left(\sum_{i=1}^n v_i x_i-t \right)- f''\left(\sum_{i=1}^n v_i x_i-t \right)=1\cdot f''\left(\sum_{i=1}^n v_i x_i-t \right)- f''\left(\sum_{i=1}^n v_i x_i-t \right) =0[/mm],
>
> und ich wäre fertig, aber irgendwie traue ich dem Ganzen
> nicht...
>
> Könntet ihr das Ganze vielleicht mal kontrollieren?
Alles top!
LG
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:24 Di 29.05.2012 | | Autor: | Lustique |
Danke für deine Kontrolle, aber das hätte ich so nicht erwartet. ![[happy]](/images/smileys/happy.gif "[happy]")
|
|
|
|
