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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:00 Mo 22.10.2012 | | Autor: | folken |
| Aufgabe | Wir betrachten die Wellengleichung:
[mm] c^2*u_{xx} [/mm] = [mm] u_{tt}
[/mm]
und führen die neuen Variablen
[mm] \xi [/mm] = x-ct , [mm] \eta [/mm] = x+ct
ein.
a) Führen Sie die Variablensubstitution durch, und drücken Sie [mm] u_{xx} [/mm] und [mm] u_{tt} [/mm] in Ableitungen von [mm] \xi [/mm] und [mm] \eta. [/mm] |
Hallo,
ich habe einen Ansatz und weiss nicht, ob mein Vorgehen so richtig ist oder nicht. Falls nicht, wäre es hilfreich zu wissen wie man hier richtig vorgeht. Ich würde u(x,t) = [mm] \xi(x-ct) [/mm] + [mm] \eta(x+ct) [/mm] zweimal ableiten und dann das ganze in
in die Gleichung [mm] c^2*u_{xx}=u_{tt} [/mm] einsetzen. (Bzw. würde ich u(x,t) zweimal nach t ableiten für [mm] u_{tt} [/mm] und zweimal nach x für [mm] u_{xx})
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:15 Mo 22.10.2012 | | Autor: | notinX |
Hallo,
> Wir betrachten die Wellengleichung:
> [mm]c^2*u_{xx}[/mm] = [mm]u_{tt}[/mm]
> und führen die neuen Variablen
> [mm]\xi[/mm] = x-ct , [mm]\eta[/mm] = x+ct
> ein.
>
> a) Führen Sie die Variablensubstitution durch, und
> drücken Sie [mm]u_{xx}[/mm] und [mm]u_{tt}[/mm] in Ableitungen von [mm]\xi[/mm] und
> [mm]\eta.[/mm]
> Hallo,
>
> ich habe einen Ansatz und weiss nicht, ob mein Vorgehen so
> richtig ist oder nicht. Falls nicht, wäre es hilfreich zu
> wissen wie man hier richtig vorgeht. Ich würde u(x,t) =
> [mm]\xi(x-ct)[/mm] + [mm]\eta(x+ct)[/mm] zweimal ableiten und
wie kommst Du denn darauf? Es soll eine Variablentransformation durchgeführt werden, das heißt der eine Variablensatz (x,t) soll durch einen anderen [mm] ($\xi$,$\eta$) [/mm] ersetzt werden. Bei Dir tauchen nun alle 4 Variablen auf, außerdem ist keinerlei Funktionsvorschrift gegeben.
> dann das ganze
> in
> in die Gleichung [mm]c^2*u_{xx}=u_{tt}[/mm] einsetzen. (Bzw. würde
> ich u(x,t) zweimal nach t ableiten für [mm]u_{tt}[/mm] und zweimal
> nach x für [mm]u_{xx})[/mm]
Gegeben ist eine Funktion $u=u(x,t)$. Diese sollst Du nun transformieren in eine Funktion [mm] $u=u(\xi,\eta)$ [/mm] D.h. Du musst x und t durch [mm] $\xi$ [/mm] und [mm] $\eta$ [/mm] ausdrücken. Dann kannst Du die Funktion mit Hilfe der Kettenregel ableiten, es gilt dann: [mm] $u=u(\xi(x,t),\eta(x,t))$
[/mm]
Gruß,
notinX
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:03 Di 23.10.2012 | | Autor: | folken |
Hallo,
danke für deine Antwort. Leider verstehe ich noch nicht alle Zusammenhänge, deswegen meine Frage dazu:
Also u(x,t) wurde bei uns in der Vorlesung definiert als [mm] u(x,t)=\phi(x-ct)+\psi(x+ct) [/mm] (sorry ich hatte in meiner Frage die falschen funktionsnamen hingeschrieben). Da [mm] x-ct=\xi [/mm] und [mm] x+ct=\eta [/mm] gilt, dann gilt doch auch u(x,t) = [mm] \phi(\xi) [/mm] + [mm] \psi(\eta) [/mm] (Das ist doch dann hier mit Variablensubstitution gemeint oder ?).
Danach wüsste ich aber nicht, wie ich zweimal Ableite, um [mm] u_{xx} [/mm] und [mm] u_{tt} [/mm] herauszubekommen.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:56 Di 23.10.2012 | | Autor: | notinX |
> Hallo,
>
> danke für deine Antwort. Leider verstehe ich noch nicht
> alle Zusammenhänge, deswegen meine Frage dazu:
>
> Also u(x,t) wurde bei uns in der Vorlesung definiert als
> [mm]u(x,t)=\phi(x-ct)+\psi(x+ct)[/mm] (sorry ich hatte in meiner
> Frage die falschen funktionsnamen hingeschrieben). Da
das hättest Du auch gleich dazuschreiben können. Woher sollen wir wissen, was in Deiner Vorlesung definiert wird 
> [mm]x-ct=\xi[/mm] und [mm]x+ct=\eta[/mm] gilt, dann gilt doch auch u(x,t) =
> [mm]\phi(\xi)[/mm] + [mm]\psi(\eta)[/mm] (Das ist doch dann hier mit
> Variablensubstitution gemeint oder ?).
Ja, etwas genauer:
[mm] $u(x,t)=\phi(\xi(x,t))+\psi(\eta(x,t))$
[/mm]
> Danach wüsste ich aber nicht, wie ich zweimal Ableite, um
> [mm]u_{xx}[/mm] und [mm]u_{tt}[/mm] herauszubekommen.
>
Ok, vereinfachen wir Die Sache erstmal ein wenig. Ich schätze, die gewöhnliche Kettenregel kennst Du. Wenn man nun eine Funktion $f(x,t)=u(v(x,t))$ hat, ist die Ableitung:
[mm] $f_x(x,t)=\frac{\partial}{\partial v}u(v(x,t))\cdot\frac{\partial}{\partial x}v(x,t)$
[/mm]
Ist das soweit nachvollziehbar, und wenn ja, kannst Du damit was anfangen?
Gruß,
notinX
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:51 Di 23.10.2012 | | Autor: | folken |
Danke das hat mir geholfen,
Wenn ich dich richtig verstanden habe, wäre das Ergebnis dann:
[mm] u_{xx}=\phi''(\xi(x,t))+\psi''(\eta(x,t))
[/mm]
[mm] u_{tt}=c^2(\phi''(\xi(x,t))+\psi''(\eta(x,t)))
[/mm]
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Hallo folken,
> Danke das hat mir geholfen,
>
> Wenn ich dich richtig verstanden habe, wäre das Ergebnis
> dann:
>
> [mm]u_{xx}=\phi''(\xi(x,t))+\psi''(\eta(x,t))[/mm]
>
> [mm]u_{tt}=c^2(\phi''(\xi(x,t))+\psi''(\eta(x,t)))[/mm]
Ja, das hast Du richtig verstanden. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruss
MathePower
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