Wellengleichung Fouriermethode < partielle < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:53 Fr 22.04.2016 | | Autor: | riju |
| Aufgabe | Lösen Sie mittels der Fouriermethode das folgende Anfangs-Randwertproblem für die eindimensionale Wellengleichung analytisch:
[mm] u_{tt}=u_{xx} [/mm] in [mm] \IR \times (0,\pi) [/mm] unter den Randbedingungen [mm]u(t,0)=0=u(t,\pi) [/mm] zu den Anfangsbedingungen [mm]u(0,x)=sin(2x), u_{t}(0,x)=1 [/mm]. |
Ich habe bis jetzt folgenden Lösungsansatz:
Ansatz: [mm] u(t,x) = T(t)X(x) [/mm]
[mm] \Rightarrow T''(t) X(x) = X''(x) T(t) [/mm]
[mm] \bruch{T''(t)}{T(t)}=\bruch{X''(x)}{X(x)} = \mu \qquad konstant [/mm]
1) [mm]X(x)[/mm] berechnen
[mm] \bruch{X''(x)}{X(x)} = \mu \Rightarrow X''(x)-\mu X(x)=0 [/mm]
Eigenwertproblem mit [mm] \lambda^{2}-\mu=0 [/mm]
[mm]\lambda_{1,2}=\pm \wurzel{\mu} [/mm]
[mm] \Rightarrow X(x)=C_{1} e^{\wurzel{\mu}x}+C_{2}e^{-\wurzel{\mu}x} [/mm]
bei [mm] \mu \not= 0 [/mm]:
[mm] X(0)=C_{1}+C_{2} =0 [/mm]
[mm] X(\pi)=C_{1} e^{\wurzel{\mu}\pi}+C_{2}e^{-\wurzel{\mu}\pi} [/mm]
hat nichttriviale Lösung nur bei [mm] det\pmat{ 1 & 1 \\ e^{\wurzel{\mu}\pi} & e^{-\wurzel{\mu}pi }}=0 [/mm].
[mm] \Rightarrow det()=e^{\wurzel{\mu}\pi}-e^{\wurzel{\mu}\pi}=0 [/mm]
[mm] \Rightarrow e^{-\wurzel{\mu}\pi }=e^{\wurzel{\mu}\pi} [/mm].
Es können keine [mm] \mu > 0 [/mm] Eigenwerte sein.
Bei [mm] \mu<0, \mu=- \lambda^2 [/mm] ist [mm]e^{-\wurzel{\mu}\pi}=e^{-i \lambda \pi}=e{\wurzel{\mu}\pi}=e^{i \lambda \pi}[/mm].
[mm] \gdw e^{2 i \lambda \pi =1[/mm] nur bei [mm] \lambda \in \IZ[/mm],
d.h. [mm] \mu=-n^{2}, n \in \IN [/mm] ist Eigenwert.
[mm] \Rightarrow X_{n}(x)=C_{n} cos(nx) [/mm] ist Eigenfunktion zu [mm] \mu=-n^{2} [/mm].
2) [mm] T(t) [/mm] berechnen
[mm] \bruch{T''(t)}{T(t)} = -n^{2} [/mm]
[mm] \Rightarrow T_{n}(t) = A_{n} cos(nt)+B_{n} sin(nt) [/mm] für [mm] n \in \IN [/mm]
3) [mm] u_n(t,x)=(A_{n} cos(nt)+B_{n} sin(nt)) cos (nx) [/mm] für [mm] n \in \IN [/mm].
Für [mm] n=0 [/mm]: [mm]u_0(t,x)=A_{0}+B_{0}t [/mm]
4) Bestimmung der Konstanten [mm] A_{n}, B_{n} [/mm] aus Anfangswerten :
[mm] u(0,x)=sin(2x) [/mm]
[mm] u_t(0,x)=1 [/mm]
[mm] \Rightarrow u(t,x) = \summe_{n=0}^{\infty} u_{n}(t,x) = A_{0}+B_{0}t +\summe_{n=1}^{\infty}(A_{n} cos(nt)+B_{n} sin(nt)) cos (nx) [/mm]
[mm] u(0,x)=A_{0}+\summe_{n=1}^{\infty} A_{n} cos(nx) =sin(2x) [/mm]
Ist das bis hierhin richtig?
Leider weiß ich jetzt nicht weiter?
Wie bekomme ich die Konstanten raus?
Vielen Dank im Voraus
Liebe Grüße
riju
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:30 Sa 23.04.2016 | | Autor: | leduart |
Hallo
warum hast du bei X(x) nur cos(nx) und nicht sin(nx) stehen, bei dem entsprechenden T(t) aber beide?
so wie es da steht kann ja u(0,x) nicht sin(2x) sein.
Gruß leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:06 So 24.04.2016 | | Autor: | riju |
> Hallo
> warum hast du bei X(x) nur cos(nx) und nicht sin(nx)
> stehen, bei dem entsprechenden T(t) aber beide?
> so wie es da steht kann ja u(0,x) nicht sin(2x) sein.
> Gruß leduart
Hallo,
das kommt daher, das wir in der Vorlesung so ein ähnliches Beispiel hatten und ich nicht weiß, wie das zustande kommt.
Vielleicht kann mir das ja jemand erklären, was ich genau falsch gemacht.
Liebe Grüße
riju
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:30 So 24.04.2016 | | Autor: | leduart |
Hallo
wenn ihr nur den cos angesetzt habt lag das sicher an den Anfangsbed.
aber hier brauchst du ja erstmal das gesamte Fundamentalsystem von [mm] X''=.n^2*X [/mm] und das ist sin(n*x) und cos(n*x) dh. h. allgemein X(x)=Asin(n*x))+Bcos(n*x)
aus den Randbed folgt n=2 und B=0
Gruß leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:50 So 24.04.2016 | | Autor: | riju |
> Hallo
> wenn ihr nur den cos angesetzt habt lag das sicher an den
> Anfangsbed.
> aber hier brauchst du ja erstmal das gesamte
> Fundamentalsystem von [mm]X''=.n^2*X[/mm] und das ist sin(n*x) und
> cos(n*x) dh. h. allgemein X(x)=Asin(n*x))+Bcos(n*x)
> aus den Randbed folgt n=2 und B=0
> Gruß leduart
Hallo,
wie kommst du auf [mm] n=2 [/mm]?
Also setze ich die Randbedingungen in [mm] X(x) [/mm] ein?
Somit hätte ich
[mm]X(0)=A*sin(n*0)+ B*cos (n*0) = B [/mm] und laut Randbedingung muss ja [mm] X(0)=0 [/mm] sein, also ist [mm] B=0 [/mm].
Dann habe ich ja auch noch
[mm]X(\pi)=A*sin(n*\pi)+ B*cos(n*\pi) [/mm]. Da [mm] B=0 [/mm] habe ich noch [mm] X(\pi)=A*sin(n*\pi) [/mm] und das muss laut Randbedingung [mm] X(\pi)=0 [/mm] sein. Oder?
Und weil eine Anfangsbedingung [mm] u(0,x)=sin(2x) [/mm] ist, ist [mm] n=2 [/mm]?
Liebe Grüße
riju
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:38 Mo 25.04.2016 | | Autor: | leduart |
Hallo
ja
Gruß leduart
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