Wellengleichung Lösung < Elektrotechnik < Ingenieurwiss. < Vorhilfe
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(Umfrage) Beendete Umfrage  | | Datum: | 10:29 Fr 04.01.2013 | | Autor: | n0000b |
Hallo,
es geht hier um die Fortsetzung der Threads http://matheforum.net/read?t=923998.
Ich beziehe mich auf das Paper ![[]](/images/popup.gif) http://www.stanford.edu/~eperalta/undergrad/TransLines.pdf.
Dort geht es konkret um die Herleitung der Gleichung 12a/12b.
Wenn ich es richtig verstehe, wird Gleichung 11 [mm] ($V_n=Ae^{-an}sin(\omega [/mm] t [mm] -\varphi [/mm] n [mm] +\delta [/mm] )$), die eine gedämpfte Welle beschreibt, in Gleichung 9 [mm] (V_{n+1}-2V_n+V_{n-1}=L_0 C_0 \frac{\partial^2V_n}{\partial^2t}) [/mm] eingesetzt.
Glg. 9 wird also zweimal abgleitet und es ergibt sich:
[mm] V_{n+1}-2V_n+V_{n-1}=L_0 C_0 \omega^2 V_n
[/mm]
Was ich noch weiß und mir verdächtig nach 12a/b aussieht, ist:
$cos(z)=cos(x)cosh(y)-isin(x)sinh(y)$ mit $z=x+iy$
Kann mir jemand auf die Sprünge helfen.
Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:36 Sa 05.01.2013 | | Autor: | Infinit |
Hallo n0000b,
ich würde Dir gerne voll auf die Sprünge helfen, habe aber da so meine Schwierigkeiten, wenn ich versuche, die Gleichungen, die Du erwähnst, im Papier nachzuvollziehen, deswegen der bescheidene Titel dieses Beitrags.
Hier sind die Punkte, über die ich eben stolpere:
Wenn ich Gleichung 11 zweimal ableite nach der Zeit, so wird aus dem Sinus ein Cosinus und anschließend ein - Sinus. Das [mm] \omega^2 [/mm] ist also okay, aber wo bitte ist das Minuszeichen hingekommen?
Deine Vermutung zur Umschreibung des Cosinus mit einem komplexen Argument ist zwar möglich, aber wo kommt dieses komplexe Argument her? In all den Gleichungen finde ich nur reelle Größen.
Vielleicht kommen wir ja noch zur richtigen Interpretation, aber eines kann man jetzt schon sagen, das Papier ist nicht gerade sehr lesefreundlich geschrieben.
Viele Grüße,
Infinit
P.S.: Ich mache aus Deiner Frage mal eine Umfrage, denn ich glaube nicht, dass wir hier mit nur einem Beitrag zum Kern des Problems vorstoßen werden.
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:34 Sa 05.01.2013 | | Autor: | n0000b |
Hallo Infinit,
danke für Deine Antwort.
Du hast recht, dass Minus ist mir durch die Lappen gegangen, korrigiert also:
$ [mm] V_{n+1}-2V_n+V_{n-1}=-L_0 C_0 \omega^2 V_n [/mm] $
Bezüglich der komplexen Ausdrucksweise habe ich mir auch schon Gedanken gemacht. Was mir aufgefallen ist, dass die Glg. 12b, welche den Imaginärteil darstellt, Null gesetzt ist.
Eine weitere Idee: Wurde hier mit der Fouriertranformierten gearbeitet? Dann wären wir komplex.
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:02 Sa 05.01.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
wenn du das [mm] V_n [/mm] aus 11 in Dgl 9 einsetzest und 2 geschickte verschieden t waehlst, z.B. fuer Gleichung 2 [mm] \omega*t-n\phi+\delta=0 [/mm] kommst du auf die Beziehungen.
da es fuer allt t gelten muss auch fuer spezielle t.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:52 So 06.01.2013 | | Autor: | n0000b |
Hallo Leduart,
leider kann ich damit noch nichts anfangen.
Was meinst Du mit: Gleichung 2 $ [mm] \omega\cdot{}t-n\phi+\delta=0 [/mm] $, was ist Gleichung 2 bei Dir ?
Ich gehe davon aus, dass Du meinst, dass in:
$ [mm] V_{n+1}-2V_n+V_{n-1}=-L_0 C_0 \omega^2 V_n [/mm] $
alle Spannungen durch ihre Wellengleichung zu ersetzen sind:
$ [mm] A_{n+1} e^{-a(n+1)}sin(\omega [/mm] t [mm] -\varphi [/mm] (n+1) [mm] +\delta [/mm] )-2 [mm] A_n e^{-an}sin(\omega [/mm] t [mm] -\varphi [/mm] n [mm] +\delta [/mm] ) + [mm] A_{n-1} e^{-a(n-1)}sin(\omega [/mm] t [mm] -\varphi [/mm] (n-1) [mm] +\delta )=-LC\omega^2 A_n e^{-an}sin(\omega [/mm] t [mm] -\varphi [/mm] n [mm] +\delta [/mm] ) $
und dann mit $ [mm] \omega\cdot{}t-n\phi+\delta=0 [/mm] $ weiterarbeiten?
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:46 So 06.01.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
ja, das meinte ich und die 2 te Gl hiess glaube ich 12b.
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:09 Mo 07.01.2013 | | Autor: | n0000b |
Hallo Leduart,
aus
$ [mm] A_{n+1} e^{-a(n+1)}sin(\omega [/mm] t [mm] -\varphi [/mm] (n+1) [mm] +\delta [/mm] )-2 [mm] A_n e^{-an}sin(\omega [/mm] t [mm] -\varphi [/mm] n [mm] +\delta [/mm] ) + [mm] A_{n-1} e^{-a(n-1)}sin(\omega [/mm] t [mm] -\varphi [/mm] (n-1) [mm] +\delta )=-LC\omega^2 A_n e^{-an}sin(\omega [/mm] t [mm] -\varphi [/mm] n [mm] +\delta [/mm] ) $
ergibt sich unter der Annahme $t=0, n=0, [mm] (\delta=0)$
[/mm]
[mm] $A_{n+1}e^{-a} \sin {(-\varphi)} [/mm] + [mm] A_{n-1}e^a \sin {(\varphi)}=0$
[/mm]
Jetzt ergibt sich mir das nächste Problem. Was hier noch stört ist die unterschiedliche Amplitude [mm] $A_{n+1}$ [/mm] u. [mm] $A_{n-1}$ [/mm] oder sehe ich das falsch?
Gruß
Markus
P.S.:
[mm] $e^{-a} \sin {(-\varphi)} [/mm] + [mm] e^a \sin {(\varphi)}=0$
[/mm]
-->
[mm] $2\sinh [/mm] a [mm] \sin \varphi [/mm] =0$
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:45 Mo 07.01.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Hallo Leduart,
>
> aus
>
> [mm]A_{n+1} e^{-a(n+1)}sin(\omega t -\varphi (n+1) +\delta )-2 A_n e^{-an}sin(\omega t -\varphi n +\delta ) + A_{n-1} e^{-a(n-1)}sin(\omega t -\varphi (n-1) +\delta )=-LC\omega^2 A_n e^{-an}sin(\omega t -\varphi n +\delta )[/mm]
>
> ergibt sich unter der Annahme [mm]t=0, n=0, (\delta=0)[/mm]
die 2 letzten Annahmen sind ueberfluessig wenn du nicht t=0 sondern meine Beziehung [mm] \omega [/mm] t [mm] -\varphi [/mm] n [mm] +\delta=0
[/mm]
nimmst
> [mm]A_{n+1}e^{-a} \sin {(-\varphi)} + A_{n-1}e^a \sin {(\varphi)}=0[/mm]
>
> Jetzt ergibt sich mir das nächste Problem. Was hier noch
> stört ist die unterschiedliche Amplitude [mm]A_{n+1}[/mm] u.
> [mm]A_{n-1}[/mm] oder sehe ich das falsch?
nach Annahme sind die A gleich, siehe skript
P.S.:
> [mm]e^{-a} \sin {(-\varphi)} + e^a \sin {(\varphi)}=0[/mm]
> -->
> [mm]2\sinh a \sin \varphi =0[/mm]
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:45 Mo 07.01.2013 | | Autor: | n0000b |
Hallo Leduart,
> die 2 letzten Annahmen sind ueberfluessig wenn du nicht t=0 sondern meine Beziehung [mm] $\omega [/mm] t [mm] -\varphi [/mm] n [mm] +\delta [/mm] = 0$ nimmst
Nun, damit ist aber keine Aussage zu $n$ getroffen könnte nämlich auch [mm] $n\neq [/mm] 0$ sein. Damit wäre [mm] $e^{-a(n \pm 1})$ [/mm] aber ein Problem 
> > Jetzt ergibt sich mir das nächste Problem. Was hier noch
> > stört ist die unterschiedliche Amplitude [mm]A_{n+1}[/mm] u.
> > [mm]A_{n-1}[/mm] oder sehe ich das falsch?
> nach Annahme sind die A gleich, siehe skript
Gut, das steht in dem Satz: Because the line will be driven with sinusoidal signal...
Aber das ist eine Vostellung, mit der ich mir etwas weh tue. Die Dämpfung mit [mm] $e^{-an}$ [/mm] beschreibt ohmsche Verluste im Leiter. Was ist aber mit den Induktivitäten und Kapazitäten, die bei steigender Frequenz ebenfalls zu einem Spannungsabfall führen [mm] ($X_L=\omega [/mm] L, [mm] X_C=\frac{1}{\omega C}$)? [/mm] Gerade wenn wir gegen die Grenzfrequenz [mm] $\omega_c=\frac{2}{\sqrt{LC}}$ [/mm] streben müsste sich das doch auswirken und so zu einer verringerten Amplitude $A$ von Stufe zu Stufe führen.
Edit:
Oder wird das über den Phasenshift [mm] $\varphi [/mm] n$ beschrieben?
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:38 Mo 07.01.2013 | | Autor: | Infinit |
Hallo nob,
die ganze Herleitung in diesem bereich gilt nur für Frequenzen, die weitaus kleiner sind als die Resonanzfrequenz, wie in Gleichung 10 beschrieben.
Viele Grüße,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:11 Di 08.01.2013 | | Autor: | n0000b |
Hallo Infinit,
ich bin im folgenden mal etwas provozierend, da ich es verstehen möchte.
> die ganze Herleitung in diesem bereich gilt nur für
> Frequenzen, die weitaus kleiner sind als die
> Resonanzfrequenz, wie in Gleichung 10 beschrieben.
Gleichung 10: [mm] $\omega \ll \frac{1}{\sqrt{LC}}$
[/mm]
Cut-Off: [mm] $\omega_c [/mm] = [mm] \frac{2}{\sqrt{LC}}$
[/mm]
Meines Erachtens wenn die Cut-Off Frequenz nur Gültigkeit haben sollte, sofern Glg 10 zutrifft würde ja die ganze Rechnung ad absurdum geführt. Man könnte die errechnete Cut-Off Frequenz nie erlangen.
Was weiterhin dagegen spricht:
Glg. 10 muss erfüllt sein um das Verhalten einer Transmission Line bestmöglich zu approximieren. In Kap. 1.4 im ersten Absatz steht aber zur weiteren Rechnung: "Also, since the experiments that follow will be performed on an equivalent lumped-element circuit rather than an 'actual' transmission line, we choose to work with..."
Das verstehe ich so, dass Glg. 10 nicht beachtet wird.
Kap. 2.1 Praktisches Experiment:
[mm] $L_0=100mH, C_0=0.01uF$
[/mm]
[mm] $\omega_c [/mm] = 63.25kHz$
Glg. 10 mit [mm] $\omega [/mm] = [mm] \omega_c$ [/mm] --> $4 [mm] \ll [/mm] 1$
Bedingung also bei weitem nicht erfüllt. Trotz dessen:
Seite 18: gemessene Cut-Off Frequenz [mm] $\omega_c [/mm] = 61kHz$
Auch ich habe praktische Messungen und Simulationen dazu im GHz-Bereich ausgeführt und die decken sich mit dem Ergebnis aus dem Paper.
Ich bin gespannt auf Deine Antwort.
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:27 Di 08.01.2013 | | Autor: | Infinit |
Hallo n0000b,
in diesem Kapitel, das uns die Gleichung 9 beschert, mit der dann ja wohl weitergerechnet wird, ging es nur um die äquivalente Beschreibung der Wellengleichung in kontinuierlicher und in diskreter Form und darauf bezog sich die Abschätzung, wann beide Schreibweisen äquivalent sind. Um mehr ging es mir mit meinem Kommentar auch erst mal nicht.
Viele Grüße,
Infinit
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:23 Mo 07.01.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
wenn du R weglaesst wohin soll dann die Energie, wenn die Amplitude abnimmt?
also ist A von R abhaengig durch die e. fkt.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:19 Di 08.01.2013 | | Autor: | n0000b |
Hallo Leduard,
ich glaube wir haben uns missverstanden.
Ich versuche es nochmal zu erklären. Betrachten wir [mm] $V_{n-1}$ [/mm] und [mm] $V_n$ [/mm] in Figure 1, dazwischen liegt [mm] $L_0$. [/mm] Bei niedrigen Frequenzen stellt [mm] $L_0$ [/mm] keinen Widerstand dar und verursacht damit keinen Spannungsabfall. --> [mm] $V_{n-1}\approx V_n$
[/mm]
Bei hohen Frequenzen, z.B. der Cut-Off Frequenz, müsste [mm] $L_0$ [/mm] einen Widerstand darstellen und verrusacht einen Spannungsabfall --> [mm] $V_{n-1}\ne V_n$ [/mm] und somit [mm] $A_{n-1}\ne A_n$, [/mm] oder?
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:38 Di 08.01.2013 | | Autor: | Infinit |
Hallo n0000b und leduart,
der Ansatz zur Lösung der Differenzengleichung geht von einer konstanten Amplitude A aus, die mit steigender Anzahl der durchlaufenen Teilstücke immer stärker gedämpft wird. Diese Dämpfung kommt durch den negativen Exponenten der e-Funktion mit rein. Mit anderen Worten, diese Amplitude A ist gerade diejenige Amplitude, die auf der linken Seite der Leitung eingespeist wird.
Die Randbedingungen, um die Gleichung zu erfüllen, versuche ich noch nachzuvollziehen, leicht ersichtlich sind sie meines Erachtens nicht gerade.
Bei niedrigen Frequenzen wird der Dämpfungsfakor niedriger sein als bei hohen, aber darum geht es hier noch nicht. Man hat eine Sinusschwingung mit einer bestimmten Frequenz [mm] \omega [/mm] und dazu gehören eine bestimmte Dämpfung und eine bestimmte Phasenverschiebung.
Viele Grüße,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:57 Di 08.01.2013 | | Autor: | n0000b |
Hallo Infinit,
> der Ansatz zur Lösung der Differenzengleichung geht von
> einer konstanten Amplitude A aus, die mit steigender Anzahl
> der durchlaufenen Teilstücke immer stärker gedämpft
> wird. Diese Dämpfung kommt durch den negativen Exponenten
> der e-Funktion mit rein. Mit anderen Worten, diese
> Amplitude A ist gerade diejenige Amplitude, die auf der
> linken Seite der Leitung eingespeist wird.
Ok, damit kann ich leben.
> Die Randbedingungen, um die Gleichung zu erfüllen,
> versuche ich noch nachzuvollziehen, leicht ersichtlich sind
> sie meines Erachtens nicht gerade.
Ok, ich bin gespannt.
> Bei niedrigen Frequenzen wird der Dämpfungsfakor niedriger
> sein als bei hohen, aber darum geht es hier noch nicht. Man
> hat eine Sinusschwingung mit einer bestimmten Frequenz
> [mm]\omega[/mm] und dazu gehören eine bestimmte Dämpfung und eine
> bestimmte Phasenverschiebung.
Gut, stellt sich nur die Frage warum man bei Frequenzen kleiner der Cut-Off Frequenz automatisch davon ausgehen kann, dass sie nicht dämpfen. Dies ist ja die Annahme in Kap. 1.4.1
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:22 Di 08.01.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich habe keine Lust das ganze paper zu lesen,sehe aber eine Daempfung durch LC nicht ein, ohne R kein Energieverlust, moeglich ist bei Abschlussmit einem falschen Wellenwiderstand natuerlich eine Reflexion, aber ich dachte es geht um einen theoretisch unendliches system, das man stufenweise behandelt, und da wird nur durch R gedaempft.
gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:38 Di 08.01.2013 | | Autor: | n0000b |
Hallo,
> ich dachte es geht um einen theoretisch unendliches system,
Nein, es geht um eine finite Anzahl von LC Gliedern, die in einem gewissen Bereich eine lossles transmission line approximieren.
Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:12 Mi 09.01.2013 | | Autor: | n0000b |
Hallo,
> > sein als bei hohen, aber darum geht es hier noch nicht. Man
> > hat eine Sinusschwingung mit einer bestimmten Frequenz
> > [mm]\omega[/mm] und dazu gehören eine bestimmte Dämpfung und eine
> > bestimmte Phasenverschiebung.
> Gut, stellt sich nur die Frage warum man bei Frequenzen
> kleiner der Cut-Off Frequenz automatisch davon ausgehen
> kann, dass sie nicht dämpfen. Dies ist ja die Annahme in
> Kap. 1.4.1
Ähm, ich glaube ich kann mir die Antwort selber geben. Da für Glg. 12b die 2 Lösungen entweder $a=0$ oder [mm] $\varphi=0$ [/mm] sind, muss dies natürlich auch für 12a gelten. Damit gilt für [mm] $\omega_c [/mm] < [mm] \frac{2}{\sqrt{LC}} \to [/mm] a=0$
Stimmts?
Gruß
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:07 Mi 09.01.2013 | | Autor: | Infinit |
Ja, das kann man sich so erklären.
Viele Grüße,
Infinit
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