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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:33 So 18.05.2008 | | Autor: | Random |
| Aufgabe | Bestimme bei der Funktion "f" mit
[mm] f(x)=x^4+ax^3-4x [/mm]
den Parameter a so, daß der Graph der Funktion "f" an der Stelle 0 "keinen" Wendepunkt haben kann. |
Hallo Leute!
Also: Damit man überhaupt etwas mit WEndepukten machen kann muss man die Funktion ja ableiten und das zwei ganze Male.
[mm] f'(x)=4x^3+3ax^2-4
[/mm]
[mm] f''(x)=12x^2+6ax
[/mm]
An der Stelle klammert man "2x" aus um die Wendepunkte zubestimmen und erhält:
2x*(6x+3a)
Folglich sind die Wendestellen:
[mm] x_1=0
[/mm]
[mm] x_2=-\bruch{a}{2}
[/mm]
Ich muss jetzt irgendwie, durch bestimmen von "a", verhindern, dass ein [mm] x_1 [/mm] auf diese Weise zustandekommt.
An der Stelle bin ich ratlos. "a" hat ja gar keinen Zusammenhang mit dem Ausgeklammerten "x" und sogar wenn ich a=0 setze dann haben wir: [mm] f''(x)=12x^2 [/mm] und somit ist 0 wieder Wendepunkt.
Hilfe !!! =D
MfG Random
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:43 So 18.05.2008 | | Autor: | pelzig |
Aus $f''(x)=0$ folgt nicht, dass $x$ Wendestelle von $f$ ist. Erst wenn du zusätzlich noch weißt dass $f'''(x)$ an der Stelle das Vorzeichen ändert, kannst du sicher sein dass x eine Wendstelle von f ist.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:49 So 18.05.2008 | | Autor: | Random |
Aso stimmt =D danke !
Das heisst, wenn ich a=0 setze, habe ich in der dritten Ableitung ( wenn [mm] x_1=0 [/mm] ist ) auch Null und das bedeutet, dass es keinen Wendepunkt geben kann.
F'''(x)=24x+6a a=0 x=0 ( f''(x)=0 )
So ist es doch oder?
Random
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(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 19:55 So 18.05.2008 | | Autor: | pelzig |
Richtig.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:09 So 18.05.2008 | | Autor: | Random |
Danke sehr!
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(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 21:26 So 18.05.2008 | | Autor: | Marc |
Hallo pelzig,
> Richtig.
das stimmt nicht: Falls [mm] $f''(x_0)=0$ [/mm] und [mm] $f'''(x_0)=0$ [/mm] heißt dies nicht, dass an der Stelle [mm] $x_0$ [/mm] kein Wendepunkt vorliegt.
(Siehe auch meine Antwort)
Viele Grüße,
Marc
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:40 So 18.05.2008 | | Autor: | Marc |
Hallo Random,
> Aso stimmt =D danke !
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> Das heisst, wenn ich a=0 setze, habe ich in der dritten
> Ableitung ( wenn [mm]x_1=0[/mm] ist ) auch Null und das bedeutet,
> dass es keinen Wendepunkt geben kann.
>
> F'''(x)=24x+6a a=0 x=0 ( f''(x)=0 )
>
> So ist es doch oder?
Nein, wenn die dritte Ableitung an der Stelle 0 ebenfalls 0 ist ($f'''(0)=0$) dann bedeutet das nicht, dass an der Stelle 0 kein Wendepunkt vorliegt (siehe z.B. die Funktion [mm] $f(x)=x^4$. [/mm] Dort ist $f'(0)=f''(0)=f'''(0)=0$, trotzdem liegt an der Stelle 0 kein Wendepunkt (sondern ein Wendepunkt)).
Stattdessen würde ich hier mit dem Vorzeichenwechsel der zweiten Ableitung argumentieren:
An der Stelle [mm] $x_0$ [/mm] liegt ein Wendepunkt, wenn $f''$ an der Stelle [mm] $x_0$ [/mm] ihr Vorzeichen wechselt.
Davon gilt auch die Umkehrung:
An der Stelle [mm] $x_0$ [/mm] liegt kein Wendepunkt, wenn $f''$ an der Stelle [mm] $x_0$ [/mm] nicht ihr Vorzeichen wechselt.
Nun lautet [mm] $f''(x)=12x^2+6ax=6x*(x+2a)$
[/mm]
Falls [mm] $a\not=0$, [/mm] hat f'' zwei (verschiedene) Nullstellen und da es sich bei f'' um eine Parabel handelt, wechselt sie an beiden Nullstellen ihr Vorzeichen.
Falls $a=0$ lautet [mm] $f''(x)=12x^2$. [/mm] Dies ist eine Parabel, deren Scheitelpunkt auf der x-Achse liegt und die deswegen ihr Vorzeichen nicht wechselt.
Viele Grüße,
Marc
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