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Forum "Exp- und Log-Funktionen" - Wendepunkt von E-Funktion
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Wendepunkt von E-Funktion: Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:01 Di 04.11.2008
Autor: LK2010

Aufgabe
[mm] \bruch{5*k*e^{x}}{(k+e^{x})^{2}}=f'(x) [/mm]

Quotientenregel

[mm] u(x)=5*k*e^{x} [/mm]    
[mm] u'(x)=5*k*e^{x} [/mm]
[mm] v(x)=e^{2*x}+2*k*e^{x}+k^2 [/mm]
[mm] v'(x)=e^{2*x}+2*k*e^{x} [/mm]

[mm] f''(x)=\bruch{5*k*e^{x}*(e^{2*x}+2*k*e^{x}+k^2)-(e^{2*x}+2*k*e^{x} )*(5*k*e^{x})}{(e^{2*x}+2*k*e^{x}+k^2)^{2}} [/mm]

[mm] f''(x)=\bruch{5*k*e^{3*x}+10*k^{2}*e^{2*x}+5*k^{3}*e^{x}-10*k*e^{3*x}-10*k^{2}*e^{2*x}}{e^{2*x}+2*k*e^{x}+k^2} [/mm]

[mm] f''(x)=\bruch{-5*k*e^{3*x}+5*k^{3}*e^{x}}{e^{2*x}+2*k*e^{x}+k^2} [/mm]

f''(x)=0
[mm] \bruch{-5*k*e^{3*x}+5*k^{3}*e^{x}}{e^{2*x}+2*k*e^{x}+k^2}=0 |*e^{2*x}+2*k*e^{x}+k^2 [/mm]

[mm] 5*k^{3}*e^{x}=5*k*e^{3*x}=0 [/mm]     |/5 |/k
[mm] k^{2}*e^{x}=e^{3*x} [/mm]    |ln
[mm] ln(k^{2}+x=3*x [/mm]
...


Hey, also bei der Aufgabe muss eigentlich ln(k) als Lösung rauskommen..
Irgendwo hab ich leider ein Fehler gemacht.
Vielleicht kann mich jemand korriegieren!Danke =)
        
Bezug
Wendepunkt von E-Funktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:22 Di 04.11.2008
Autor: steppenhahn

Hallo!

Du hast einen kleinen Fehler gemacht, der sich aber im Laufe der Rechnung wieder verfliegt, weil du noch einen Fehler gemacht hast :-)

> [mm]\bruch{5*k*e^{x}}{(k+e^{x})^{2}}=f'(x)[/mm]
>
> Quotientenregel
>  
> [mm]u(x)=5*k*e^{x}[/mm]    
> [mm]u'(x)=5*k*e^{x}[/mm]
>  [mm]v(x)=e^{2*x}+2*k*e^{x}+k^2[/mm]
>  [mm]v'(x)=\red{e^{2*x}}+2*k*e^{x}[/mm]

Anstatt [mm] \red{e^{2*x}} [/mm] hätte [mm] 2*e^{2x} [/mm] stehen müssen, wegen der inneren Ableitung von [mm] e^{2x}. [/mm]

> [mm]f''(x)=\bruch{5*k*e^{x}*(e^{2*x}+2*k*e^{x}+k^2)-(e^{2*x}+2*k*e^{x} )*(5*k*e^{x})}{(e^{2*x}+2*k*e^{x}+k^2)^{2}}[/mm]
>  
> [mm]f''(x)=\bruch{5*k*e^{3*x}+10*k^{2}*e^{2*x}+5*k^{3}*e^{x}-\red{10}*k*e^{3*x}-10*k^{2}*e^{2*x}}{e^{2*x}+2*k*e^{x}+k^2}[/mm]

Hättest du richtig aufgelöst (dann wäre es falsch geblieben), hätte dort eine 5 stehen müssen - so beziehst du aber durch Zufall genau die fehlende 2 von oben mit ein :-)

> [mm]f''(x)=\bruch{-5*k*e^{3*x}+5*k^{3}*e^{x}}{e^{2*x}+2*k*e^{x}+k^2}[/mm]
>  
> f''(x)=0
>  
> [mm]\bruch{-5*k*e^{3*x}+5*k^{3}*e^{x}}{e^{2*x}+2*k*e^{x}+k^2}=0 |*e^{2*x}+2*k*e^{x}+k^2[/mm]
>  
> [mm]5*k^{3}*e^{x}=5*k*e^{3*x}=0[/mm]     |/5 |/k
>  [mm]k^{2}*e^{x}=e^{3*x}[/mm]    |ln

Bis zu diesem Punkt "stimmt" deine Rechnung.
Nun musst du einmal durch [mm] e^{x} [/mm] teilen und auf beiden Seiten die Wurzel ziehen - das führt zum gewünschten Ergebnis:

[mm]k^{2}=e^{2*x} = (e^{x})^{2}[/mm] (Potenzgesetze)

[mm]k = e^{x}[/mm]

[mm] \ln(k) [/mm] = x

:-)

Aber du musst ehrlich zugeben - was du dort oben gerechnet hast dauert doch Stunden...
Ich zeige dir mal einen etwas hübscheren Weg, der zwar genau dasselbe macht, aber...:

[mm]f'(x) = \bruch{5*k*e^{x}}{(k+e^{x})^{2}}[/mm]

Es ist

[mm]f''(x) = 5*k*\left(\bruch{e^{x}}{(k+e^{x})^{2}}\right)'[/mm]  (Konstante-Faktoren-Regel fürs ableiten)

[mm]= 5*k*\left(\bruch{e^{x}*(k+e^{x})^{2} - e^{x}*2*(k+e^{x})*e^{x}}{(k+e^{x})^{4}}\right)[/mm]

[mm]= 5*k*\left(\bruch{e^{x}*(k+e^{x})*\left(k+e^{x} - 2*e^{x}\right)}{(k+e^{x})^{4}}\right)[/mm]

Nun kann man kürzen

[mm]= 5*k*\left(\bruch{e^{x}*\left(k-e^{x}\right)}{(k+e^{x})^{3}}\right)[/mm]

und dann weiter wie oben die Nullstellen ausrechnen :-)
Bezug
                
Bezug
Wendepunkt von E-Funktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:40 Di 04.11.2008
Autor: LK2010

Auf den Schluss bin ich leider nich mehr gekommen =)
Der andere Weg sieht auch wirklich kürzer aus ...
Vielen lieben Dank =)
Bezug
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