Wendepunkte bestimmen, wenn f'''(x)=0? < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:07 Do 19.08.2004 | | Autor: | David_D |
Hallo,
also, unsere Mathelehrerin hat uns vergangenes Jahr erklaert,
dass man, grob gesagt, Wendepunkte bestimmen kann, wenn f''(x)=0 und die 3. Ableitung ungleich Null ist.
Heute hat uns unser neuer Lehrer allerdings gesagt, dass eine Funktion des Types
[mm] f(x)=x^n
[/mm]
auch ueber Wendepunkte verfuegt. Wobei wir mit unseren bisher erlernten Mitteln wohl noch nicht dazu in der Lage sein.
Deswegen habe ich im Internet danach gesucht, bin aber leider nicht fuendig geworden.
Daher hoffe ich nun, dass mir einer von euch helfen kann,
danke schon mal im Vorraus =)
Ich habe diese Frage in keinem weiteren Forum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:29 Do 19.08.2004 | | Autor: | Hanno |
Hi David!
Schau' dir mal die Funktionen
[mm]f(x)=x^3[/mm]
[mm]f(x)=x^5[/mm]
...
[mm]f(x)=x^{2k+1}[/mm]
an.
Alle diese Funktionen haben im Nullpunkt einen Wendepunkt (sogar einen Sattelpunkt). Dennoch ist die dritte Ableitung in allen diesen Fällen gleich Null, d.h. wir können aus der Regel, die du wahrscheinlich kennst:
Wenn die zweite Ableitung [mm]f''(x_0)=0[/mm] und [mm]f'''(x_0)\not= 0[/mm], dann befindet sich an der Stelle [mm](x_0|f(x_0))[/mm] ein Wendepunkt.
Dies besagt, dass für [mm]f''(x_0)=0[/mm] die Tatsache, dass [mm]f'''(x_0)\not= 0[/mm] eine sogenannte hinreichende Bedingung für einen Wendepunkt ist. In Formeln ausgedrückt sei D die Tatsache, dass [mm]f'''(x_0)=0[/mm] und W die Tatsache, dass an der Stelle [mm](x_{0},f(x_0))[/mm] ein Wendepunkt vorliegt, so gilt (natürlich nur unter der Bedingung, dass [mm]f''(x_0)=0[/mm]):
[mm]D\Rightarrow W[/mm]
Daraus folgt allerdings noch lange nicht die Negierung, also, dass
[mm]\neg D\Rightarrow \neg W[/mm]
Soll heißen: nur weil die dritte Ableitung an der Stelle [mm]x_0[/mm] ungleich Null ist, folgt daraus noch nicht, dass kein Wendepunkt vorliegen kann.
(Beliebtes Beispiel: Wenn es regnet, ist die Straße nass. Wenn es nicht regnet, kann die Straße trotzdem nass sein. Aber: Wenn die Straße nicht nass ist, dann kann es auch nicht regnen).
Hilft dir das ein wenig?
Gruß,
Hanno
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