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| Aufgabe | Begründen Sie, dass sich die Wendetangenten eines Graphen von [mm] f_{a} [/mm] auf der y-Achse schneiden!
Ermitteln Sie die Koordinaten dieses Schnittpunkts S!
[mm] f_{a}(x)=a\*ln(x^2+a)-a [/mm] (a>0) |
Als erstes möchte ich mich erst mal ganz herzlich für die Antworten zu meinen Fragen bedanken. ^^ *freu*
Und nun zu meine Frage. Bei der Aufgabe habe ich 2 schöne Wendepunkte rausbekommen:
[mm] P_{w}_{1}(\wurzel{a};a\*ln(2a)-a)
[/mm]
[mm] P_{w}_{2}(-\wurzel{a};a\*ln(2a)-a)
[/mm]
Dann habe ich diesen Ansatz gewählt, um auf die Wendetangenten zu kommen:
t(x)=y=mx+n
m ist [mm] f'(\wurzel{a}) [/mm] oder eben [mm] f'(-\wurzel{a})
[/mm]
dann setze ich noch die gegebenen Koordinaten für y und x ein und erhalte n. Das klappt ja auch prima für den Punkt [mm] P_{w}_{1} n=a\*ln(2a)-2a [/mm] Und wenn ich dies überprüfe für die Fkt. [mm] f_{2}(x) [/mm] dann komme ich auf ein n=-1,227
Mein Problem: für [mm] P_{w}_{2} [/mm] komme ich aber auf ein [mm] n=a\*ln(2a)
[/mm]
Es müsste aber wieder genau das gleiche Absolutglied rauskommen, damit wäre ja dann auch bewiesen, dass sich die beiden Wendetangenten auf der y-Achse in einem Punkt schneiden. Ich weiß einfach nicht wo da mein Fehler liegt. Ich würd mich über Hilfe wie immer sehr freuen. ^^
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
LG Leni-chan
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Hallo leni-chan und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
> Begründen Sie, dass sich die Wendetangenten eines Graphen
> von [mm]f_{a}[/mm] auf der y-Achse schneiden!
> Ermitteln Sie die Koordinaten dieses Schnittpunkts S!
>
> [mm]f_{a}(x)=a\*ln(x^2+a)-a[/mm] (a>0)
> Als erstes möchte ich mich erst mal ganz herzlich für die
> Antworten zu meinen Fragen bedanken. ^^ *freu*
> Und nun zu meine Frage. Bei der Aufgabe habe ich 2 schöne
> Wendepunkte rausbekommen:
>
> [mm]P_{w}_{1}(\wurzel{a};a\*ln(2a)-a)[/mm]
> [mm]P_{w}_{2}(-\wurzel{a};a\*ln(2a)-a)[/mm]
>
> Dann habe ich diesen Ansatz gewählt, um auf die
> Wendetangenten zu kommen:
> t(x)=y=mx+n
>
> m ist [mm]f'(\wurzel{a})[/mm] oder eben [mm]f'(-\wurzel{a})[/mm]
> dann setze ich noch die gegebenen Koordinaten für y und x
> ein und erhalte n. Das klappt ja auch prima für den Punkt
> [mm]P_{w}_{1} n=a\*ln(2a)-2a[/mm] Und wenn ich dies überprüfe für
> die Fkt. [mm]f_{2}(x)[/mm] dann komme ich auf ein n=-1,227
>
> Mein Problem: für [mm]P_{w}_{2}[/mm] komme ich aber auf ein
> [mm]n=a\*ln(2a)[/mm]
Schade, dass du uns nicht deine Rechnungen zeigst, nur dann können wir feststellen, ob und wo du eventuell einen Fehler gemacht hast. Deine Überlegungen sind ja richtig... 
> Es müsste aber wieder genau das gleiche Absolutglied
> rauskommen, damit wäre ja dann auch bewiesen, dass sich die
> beiden Wendetangenten auf der y-Achse in einem Punkt
> schneiden. Ich weiß einfach nicht wo da mein Fehler liegt.
> Ich würd mich über Hilfe wie immer sehr freuen. ^^
Gruß informix
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Also ich weiß erst mal sicher, dass die Koordinaten der Wendepunkte richtig sind. Der Lösungsweg wäre ein wenig zu lang.
So und hier die Berechnung wie ich auf die Wendetangente 1 komme:
[mm] P_{w}_{1}(\wurzel{a};a\*ln(2a)-a)
[/mm]
[mm] t_{1}: [/mm] y=mx+n
f'(x)=m
[mm] f'(x)=(2a\*x)/(x^2)+a
[/mm]
[mm] f'(\wurzel{a})= (2a\*\wurzel{a})/(2a)
[/mm]
= [mm] \wurzel{a}
[/mm]
y=mx+n
[mm] a\*ln(2a)-a=\wurzel{a}\*\wurzel{a}+n
[/mm]
[mm] a\*ln(2a)-a=a+n [/mm]
[mm] n=a\*ln(2a)-2a
[/mm]
[mm] \Rightarrow t_{1}:y=\wurzel{a}x+a\*ln(2a)-2a
[/mm]
So und hier die Berechnung für die Wendetangente 2:
[mm] P_{w}_{2}(-\wurzel{a};a\*ln(2a)-a)
[/mm]
[mm] t_{2}: [/mm] y=mx+n
[mm] f'(x)=-\wurzel{a}
[/mm]
y=mx+n
[mm] a\*ln(2a)-a=-\wurzel{a}\*\wurzel{a}+n
[/mm]
[mm] a\*ln(2a)-a=-a+n
[/mm]
[mm] n=a\*ln(2a)
[/mm]
[mm] \Rightarrow t_{2}:y=-\wurzel{a}x+a\*ln(2a)
[/mm]
Und wie man jetzt sieht haben [mm] t_{1} [/mm] und [mm] t_{2} [/mm] nicht den gleichne Anstieg n. Vielleicht erkennt jemand meinen Fehler.
Leni-chan
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:49 Sa 27.05.2006 | | Autor: | Leni-chan |
| Aufgabe | | Noch einmal zur Aufgabenstellung ganz am Anfang. |
Ich hab in die Mitteilung meinen Lösungsweg gepackt.
Die Frage bleibt weiterhin bestehen. ^^
Ich hab leider die falsche Einstellung gewählt, was meine Frage betraf. Also eins weiter oben schauen bitte.
Hilfe ist natürlich willkommen.
LG Leni - chan
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Hi, Leni,
> Also ich weiß erst mal sicher, dass die Koordinaten der
> Wendepunkte richtig sind. Der Lösungsweg wäre ein wenig zu
> lang.
> So und hier die Berechnung wie ich auf die Wendetangente 1
> komme:
>
> [mm]P_{w}_{1}(\wurzel{a};a\*ln(2a)-a)[/mm]
> [mm]t_{1}:[/mm] y=mx+n
> f'(x)=m
> [mm]f'(x)=(2a\*x)/(x^2)+a[/mm]
> [mm]f'(\wurzel{a})= (2a\*\wurzel{a})/(2a)[/mm]
>
> = [mm]\wurzel{a}[/mm]
>
> y=mx+n
> [mm]a\*ln(2a)-a=\wurzel{a}\*\wurzel{a}+n[/mm]
> [mm]a\*ln(2a)-a=a+n[/mm]
>
> [mm]n=a\*ln(2a)-2a[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow t_{1}:y=\wurzel{a}x+a\*ln(2a)-2a[/mm]
Stimmt!
> So und hier die Berechnung für die Wendetangente 2:
>
> [mm]P_{w}_{2}(-\wurzel{a};a\*ln(2a)-a)[/mm]
>
> [mm]t_{2}:[/mm] y=mx+n
> [mm]f'(x)=-\wurzel{a}[/mm]
>
> y=mx+n
> [mm]a\*ln(2a)-a=-\wurzel{a}\*\wurzel{a}+n[/mm]
Du übersiehst, dass die x-Koordinate des 2. Wendepunktes [mm] -\wurzel{a} [/mm] ist! Minuszeichen vergessen!
Mit richtigem Vorzeichen kommt derselbe y-Abschnitt raus wie bei Wendetangente 1!
mfG!
Zwerglein
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