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| Aufgabe | Berechnen Sie den Wert des folgenden Audrucks:
[mm] \frac{1}{(2-\wurzel{5})}+\summe_{k=0}^{\infty}\frac{1}{(\wurzel{5}+2)} *(k+2)*((3-\wurzel{5})^{k} [/mm] |
Hallo :)
so hier gleich mein zweites Problem für heute, wieder einmal Reihen und wieder einmal leider keine Ahnung wie ich denn anfangen soll.
Wenn es heißt "Berechnen Sie den Wert", dann muss zum Schluss eine konkrete Zahl herauskommen? d.h. ich kann jetzt nicht einfach für k=0 anfangen und dann einsetzen und bis z.B. k=5 die Glieder hinschreiben?
Wie gehe ich hier vor? Als erstes kam mir die Geometrische Reihe für den letzten Ausdruck [mm] (3-\wurzel{5})^{k} [/mm] in den Sinn, wegen dem ^{k}, aber stimmt der Gedanke überhaupt?
Was mach ich mit dem Rest? ich hab leider überhaupt keinen Plan und hoffe ihr könnt mir ein paar Tipps zur Vorgehensweise geben!
Vielen Dank für eure Hilfe
Liebe Grüße
Miilkyway
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo miilkyway,
das ist nicht sooo einfach.
> Berechnen Sie den Wert des folgenden Audrucks:
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> [mm]\frac{1}{(2-\wurzel{5})}+\summe_{k=0}^{\infty}\frac{1}{(\wurzel{5}+2)} *(k+2)*((3-\wurzel{5})^{k}[/mm]
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> Hallo :)
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> so hier gleich mein zweites Problem für heute, wieder
> einmal Reihen und wieder einmal leider keine Ahnung wie ich
> denn anfangen soll.
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> Wenn es heißt "Berechnen Sie den Wert", dann muss zum
> Schluss eine konkrete Zahl herauskommen?
So ist es.
> d.h. ich kann
> jetzt nicht einfach für k=0 anfangen und dann einsetzen
> und bis z.B. k=5 die Glieder hinschreiben?
Nein, das wird nicht reichen, aber...
> Wie gehe ich hier vor? Als erstes kam mir die Geometrische
> Reihe für den letzten Ausdruck [mm](3-\wurzel{5})^{k}[/mm] in den
> Sinn, wegen dem ^{k}, aber stimmt der Gedanke überhaupt?
Das klappt so auch noch nicht, weil es ja auch noch den Faktor (k+2) gibt. Vielleicht kannst Du die Reihe aber auseinanderziehen.
> Was mach ich mit dem Rest? ich hab leider überhaupt
> keinen Plan und hoffe ihr könnt mir ein paar Tipps zur
> Vorgehensweise geben!
Ich würde in der Tat erstmal so die ersten 5 Glieder hinschreiben und nachschauen, was da passiert und ob man sinnvoll zusammenfassen kann. Ist die weitere Entwicklung vorhersehbar?
Wenn ja, dann muss es auch eine Form geben, wie man das allgemein hinschreiben kann.
Grüße
reverend
> Vielen Dank für eure Hilfe
> Liebe Grüße
> Miilkyway
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:52 Di 22.01.2013 | | Autor: | fred97 |
Tipps:
Für |x|<1 ist [mm] \summe_{k=0}^{\infty}(k+2)x^k= \summe_{k=0}^{\infty}(k+1)x^k+\summe_{k=0}^{\infty}x^k
[/mm]
Den Wert der Reihe [mm] \summe_{k=0}^{\infty}x^k [/mm] solltest Du kennen .....
Für [mm] \summe_{k=0}^{\infty}(k+1)x^k [/mm] berechne mal das Cauchyprodukt von [mm] \summe_{k=0}^{\infty}x^k [/mm] mit sich selbst.
FRED
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Den Wert der Reihe [mm] \summe_{k=0}^{\infty} x^k [/mm] kenne ich, ja,
das ist dann [mm] \frac{1}{1-x}
[/mm]
Ok Cauchy Produkt, ich kenns aber kann es leider nicht so wirklich anwenden. Ich probiers mal soweit wie es geht...
[mm] \summe_{k=0}^{\infty} x^k*\summe_{k=0}^{\infty} x^k [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{\infty} \summe_{j=0}^{k} x^j*x^{k-j}
[/mm]
= [mm] \summe_{k=0}^{\infty} \summe_{j=0}^{k} x^j*x^{-j}*x^k
[/mm]
= [mm] \summe_{k=0}^{\infty} \summe_{j=0}^{k} x^{j-j}*x^k
[/mm]
= [mm] \summe_{k=0}^{\infty} \summe_{j=0}^{k} 1*x^k
[/mm]
= [mm] \summe_{k=0}^{\infty} (x^k \summe_{j=0}^{k} [/mm] 1)
= [mm] \summe_{k=0}^{\infty} (k+1)*(x^k)
[/mm]
ok mit der Geometrischen Reihe das Cauchy Produkt zu bestimmen ist eigentlich gar nicht so schwer..
Hm aber ehrlich gesagt weiß ich jetzt trotzdem noch nicht wie mich das weiter bringen soll!
Bin ne ziemliche Niete was Reihen angeht ;)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:03 Di 22.01.2013 | | Autor: | fred97 |
> Den Wert der Reihe [mm]\summe_{k=0}^{\infty} x^k[/mm] kenne ich,
> ja,
> das ist dann [mm]\frac{1}{1-x}[/mm]
Stimmt
>
> Ok Cauchy Produkt, ich kenns aber kann es leider nicht so
> wirklich anwenden. Ich probiers mal soweit wie es geht...
>
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty} x^k*\summe_{k=0}^{\infty} x^k[/mm] =
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty} \summe_{j=0}^{k} x^j*x^{k-j}[/mm]
>
> = [mm]\summe_{k=0}^{\infty} \summe_{j=0}^{k} x^j*x^{-j}*x^k[/mm]
>
> = [mm]\summe_{k=0}^{\infty} \summe_{j=0}^{k} x^{j-j}*x^k[/mm]
> =
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty} \summe_{j=0}^{k} 1*x^k[/mm]
> =
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty} (x^k \summe_{j=0}^{k}[/mm] 1)
> = [mm]\summe_{k=0}^{\infty} (k+1)*(x^k)[/mm]
Stimmt auch.
>
> ok mit der Geometrischen Reihe das Cauchy Produkt zu
> bestimmen ist eigentlich gar nicht so schwer..
So ist es.
>
> Hm aber ehrlich gesagt weiß ich jetzt trotzdem noch nicht
> wie mich das weiter bringen soll!
> Bin ne ziemliche Niete was Reihen angeht ;)
Jetzt wissen wir doch:
[mm] \summe_{k=0}^{\infty}(k+2)x^k= \bruch{1}{(1-x)^2}+\bruch{1}{1-x}
[/mm]
FRED
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Ah, also kann ich jetzt mit [mm] \summe_{k=0}^{\infty}(k+2)x^k= \bruch{1}{(1-x)^2}+\bruch{1}{1-x} [/mm]
den hinteren Teil, also [mm] (k+2)*(3-\wurzel{5})^k [/mm] lösen?
Das würde dann
[mm] \frac{1}{(1-(3-\wurzel{5}))^2} [/mm] + [mm] \frac{1}{(1-(3-\wurzel{5})} [/mm] ergeben?
= [mm] \frac{1}{(1^2-3^2+\wurzel{5}^2)+2*(1*(-3)+1*\wurzel{5}+(-3)*\wurzel{5})} +\frac{1}{(1-3+\wurzel{5})}
[/mm]
= [mm] \frac{1}{(1-9+5-6+2\wurzel{5}-6\wurzel{5})}+\frac{1}{(1-3+\wurzel{5})}
[/mm]
= [mm] \frac{1}{(-9-4\wurzel{5})}+\frac{1}{(-2+\wurzel{5})}
[/mm]
Richtig gerechnet oder ist irgendwo ein Fehler drin? Lass es lieber jetzt erst mal korrigieren nicht das ich sonst mit dem falschen weiterrechne ;)
Und wie gehe ich dann weiter vor?
Muss ich die zwei Terme jeweils erweitern damit ich unten die Wurzeln wegbekomme und dann beide auf den gleichen Nenner bringen und zusammen zählen?
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Hallo miilkyway,
> Ah, also kann ich jetzt mit [mm]\summe_{k=0}^{\infty}(k+2)x^k= \bruch{1}{(1-x)^2}+\bruch{1}{1-x}[/mm]
> den hinteren Teil, also [mm](k+2)*(3-\wurzel{5})^k[/mm] lösen?
Jo!
>
> Das würde dann
>
> [mm]\frac{1}{(1-(3-\wurzel{5}))^2}[/mm] + [mm]\frac{1}{(1-(3-\wurzel{5})}[/mm] ergeben? ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> =
> [mm]\frac{1}{(1^2-3^2+\wurzel{5}^2)+2*(1*(-3)+1*\wurzel{5}+(-3)*\wurzel{5})} +\frac{1}{(1-3+\wurzel{5})}[/mm]
Was genau hast du da beim Quadrieren gerechnet?
Fasse doch vor dem Quadrieren zusammen: [mm](1-(3-\sqrt 5))^2=(-2+\sqrt 5)^2=4-4\sqrt 5+5=9-4\sqrt 5[/mm]
>
> =
> [mm]\frac{1}{(1-9+5-6+2\wurzel{5}-6\wurzel{5})}+\frac{1}{(1-3+\wurzel{5})}[/mm]
>
> = [mm]\frac{1}{(-9-4\wurzel{5})}+\frac{1}{(-2+\wurzel{5})}[/mm]
>
> Richtig gerechnet oder ist irgendwo ein Fehler drin?
Da steckt ein VZF drin, es muss [mm]\red +9-4\sqrt 5[/mm] im Nenner des ersten Bruchs lauten
> Lass
> es lieber jetzt erst mal korrigieren nicht das ich sonst
> mit dem falschen weiterrechne ;)
>
> Und wie gehe ich dann weiter vor?
Vllt. gleichnamig machen, um die Brüche zu addieren, dann mit dem Vorfaktor multiplizieren und schließlich das Ganze [mm]+\frac{1}{2-\sqrt 5}[/mm] ...
> Muss ich die zwei Terme jeweils erweitern damit ich unten
> die Wurzeln wegbekomme und dann beide auf den gleichen
> Nenner bringen und zusammen zählen?
Unschöne Sache, diese Umformungen - und so sinnfrei ... 
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:14 Mi 23.01.2013 | | Autor: | miilkyway |
Ja das mit dem Vorzeichen, hab ich wohl nur hier falsch eingetippt, auf meinem Blatt hab ichs richtig.
Als Endergebnis bekomm ich 1 heraus! Klingt auf jeden Fall gut ;)
Vielen Dank für die Hilfe!!
LG
miilkyway
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