Wert des Integrals < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 19:46 Mi 02.04.2014 | | Autor: | Herbart |
Hallo,
kann mir jemand den Wert folgenden Integrals bestätigen?
[mm] $\int_{S^2}(x_1+2)d\mathcal{H}^2(x_1,x_2,x_3)=\int_{S^2}x_1d\mathcal{H}^2+2\mathcal{H}^2(S^2)=2\int_{S_+^2}x_1d\mathcal{H}^2+2\cdot 4\pi=(x)$
[/mm]
Der Graph von [mm] f:U^2\to\IR [/mm] mit [mm] f(x)=\sqrt{1-|x|^2} [/mm] ist gleich $S_+^2$ und [mm] \nabla f(x)=\frac{x}{\sqrt{1-|x|^2}}. [/mm] Aus Vorlesung ist bekannt, dass falls [mm] \phi(x)=(x,f(x)) [/mm] eine Parametrisierung mit [mm] f:U\to\IR [/mm] einer differenzierbaren Untermannigfaltigkeit M ist mit [mm] M=Graf(f)=\{(x,f(x)):x\in U\}, [/mm] dass dann [mm] \int_M [/mm] h(y) [mm] d\mathcal{H}^{n-1}y=\int_U h(x,f(x))\cdot\sqrt{1+|\nabla f(x)|^2}.
[/mm]
Das nutzt man im folgenden:
[mm] $(x)=\int_{U^2}x_1\cdot\sqrt{1+|\frac{x}{\sqrt{1-|x|^2}}|^2}d(x_1,x_2)+8\pi=\int_{U^2}\frac{x_1}{\sqrt{1-|x|^2}}d(x_1,x_2)+8\pi=(x_2)$
[/mm]
Jetzt nutze ich ebene Polarkoordninaten [mm] \phi(r,\Phi)=(rcos(\Phi),rsin(\Phi).
[/mm]
[mm] $(x_2)=\int_{]0,1[x]0,2\pi[}\frac{rcos(\Phi)}{\sqrt{1-r^2}}\cdot [/mm] r [mm] d(r,\Phi)+8\pi=\int_0^1\int_0^{2\pi}\frac{r^2sin(\Phi)}{\sqrt{1-r^2}}d\Phi dr+8\pi=(\int_0^1\frac{r^2}{\sqrt{1-r^2}}dr)(\int_0^{2\pi}sin(\Phi)d\Phi)+8\pi=0+8\pi=8\pi$
[/mm]
Irgendwie bin ich mir beim letzten Schritt etwas unsicher. Was sagt ihr dazu?
MfG Herbart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:20 Sa 05.04.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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