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Forum "Folgen und Reihen" - Wert einer Reihe
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Wert einer Reihe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:21 So 21.04.2019
Autor: hase-hh

Aufgabe
Geben Sie den Wert der Reihe

[mm] \bruch{3}{5} [/mm] + [mm] \bruch{3}{50} [/mm] + [mm] \bruch{3}{500} [/mm] + ...

als Bruch mit ganzzahligem Zähler und ganzzahligem Nenner an.



Moin Moin,

über den Lösungsweg an sich, ich bin für ein paar Hinweise zum Vorgehen dankbar.

Also. Hier erkenne ich, dass es sich um eine geometrische Folge bzw. Reihe handelt, richtig?


[mm] a_n [/mm] = [mm] \bruch{3}{5}*q^n [/mm]  


Nun weiss ich nicht, ob ich besser von n=1 oder n=0 starte ???

Ich machs mal für n= 0

Ich finde q heraus:

[mm] a_1 [/mm] = [mm] a_0*q [/mm]

q = [mm] \bruch{a_1}{a_0} [/mm] = [mm] \bruch{\bruch{3}{50}}{\bruch{3}{5}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{10} [/mm]

=>

[mm] a_0 [/mm] = [mm] \bruch{3}{5}*(\bruch{1}{10})^0 [/mm]

[mm] a_1 [/mm] = [mm] \bruch{3}{5}*(\bruch{1}{10})^1 [/mm]

:


Soweit ich mich erinnern kann, gibt es eine Summenformel für geometrische Folgen bzw. Reihen...

[mm] s_n [/mm] = [mm] a_0*\bruch{1-q^{n+1}}{1-q^n} [/mm]

[mm] s_n [/mm] = [mm] \bruch{3}{5}*\bruch{1-0,1^{n+1}}{1-0,1} [/mm]


und jetzt??

[mm] s_n [/mm] = [mm] \bruch{3}{4,5}*(1-0,1^{n+1}) [/mm]

bzw.

[mm] s_n [/mm] = [mm] \bruch{30}{45}(1-0,1^{n+1}) [/mm]

[mm] s_n [/mm] = [mm] \bruch{2}{3}*(1-0,1^{n+1}) [/mm]


Ist das so richtig bzw. vollständig?  


Danke für eure Hilfe!


        
Bezug
Wert einer Reihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 04:04 So 21.04.2019
Autor: fred97


> Geben Sie den Wert der Reihe
>
> [mm]\bruch{3}{5}[/mm] + [mm]\bruch{3}{50}[/mm] + [mm]\bruch{3}{500}[/mm] + ...
>  
> als Bruch mit ganzzahligem Zähler und ganzzahligem Nenner
> an.
>  Moin Moin,
>  
> über den Lösungsweg an sich, ich bin für ein paar
> Hinweise zum Vorgehen dankbar.
>
> Also. Hier erkenne ich, dass es sich um eine geometrische
> Folge bzw. Reihe handelt, richtig?

richtig

>
>
> [mm]a_n[/mm] = [mm]\bruch{3}{5}*q^n[/mm]  
>
>
> Nun weiss ich nicht, ob ich besser von n=1 oder n=0 starte
> ???
>  

was  ist [mm] q^0, [/mm] , was  ist  [mm] q^1 [/mm] ?


> Ich machs mal für n= 0

gute Wahl






>
> Ich finde q heraus:
>  
> [mm]a_1[/mm] = [mm]a_0*q[/mm]
>
> q = [mm]\bruch{a_1}{a0}[/mm] = [mm]\bruch{\bruch{3}{50}}{\bruch{3}{5}}[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{10}[/mm]
>
> =>
>
> [mm]a_0[/mm] = [mm]\bruch{3}{5}*(\bruch{1}{10})^0[/mm]
>
> [mm]a_1[/mm] = [mm]\bruch{3}{5}*(\bruch{1}{10})^1[/mm]
>  
> :
>  
>
> Soweit ich mich erinnern kann, gibt es eine Summenformel
> für geometrische Folgen bzw. Reihen...
>
> [mm]s_n[/mm] = [mm]a_0*\bruch{1-q^{n+1}}{1-q^n}[/mm]
>  
> [mm]s_n[/mm] = [mm]\bruch{3}{5}*\bruch{1-0,1^{n+1}}{1-0,1}[/mm]
>  
>
> und jetzt??
>
> [mm]s_n[/mm] = [mm]\bruch{3}{4,5}*(1-0,1^{n+1})[/mm]
>  
> bzw.
>
> [mm]s_n[/mm] = [mm]\bruch{30}*{45}(1-0,1^{n+1})[/mm]
>  
> [mm]s_n[/mm] = [mm]\bruch{2}{3}*(1-0,1^{n+1})[/mm]
>  
>
> Ist das so richtig bzw. vollständig?  

Es ist  richtig, aber nicht vollständig.  Es fehlt noch  der Grenzwert der  Folge  [mm] (s_n) [/mm]


>
>
> Danke für eure Hilfe!
>  


Bezug
                
Bezug
Wert einer Reihe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 07:16 So 21.04.2019
Autor: hase-hh


> >
> >
> > Nun weiss ich nicht, ob ich besser von n=1 oder n=0 starte
> > ???
>  >  
>
> was  ist [mm]q^0,[/mm] , was  ist  [mm]q^1[/mm] ?

[mm] q^0 [/mm] = 1   und [mm] q^1 [/mm] = q   warum?

Natürlich müsste ich die Formel anpassen, je nachdem ob ich mit n=0 oder n=1 beginne...
  
  :

> > [mm]s_n[/mm] = [mm]\bruch{2}{3}*(1-0,1^{n+1})[/mm]
>  >  
> >
> > Ist das so richtig bzw. vollständig?  
>
> Es ist  richtig, aber nicht vollständig.  Es fehlt noch  
> der Grenzwert der  Folge  [mm](s_n)[/mm]
>  

D.h. heisst ich muß noch den Grenzwert bilden...

[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} (\bruch{2}{3}*(1-0,1^{n+1}) [/mm] = [mm] \bruch{2}{3} [/mm]


so ?



Bezug
                        
Bezug
Wert einer Reihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:19 So 21.04.2019
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> > was  ist [mm]q^0,[/mm] , was  ist  [mm]q^1[/mm] ?
>  
> [mm]q^0[/mm] = 1   und [mm]q^1[/mm] = q   warum?
>
> Natürlich müsste ich die Formel anpassen, je nachdem ob
> ich mit n=0 oder n=1 beginne...

Du hattest dich ja bereits fuer $ [mm] a_n [/mm] = [mm] \bruch{3}{5}\cdot{}q^n [/mm] $   entschieden, nun versuche mal ein q zu finden, wenn du bei n=1 beginnst...

> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} (\bruch{2}{3}*(1-0,1^{n+1})[/mm] =
> [mm]\bruch{2}{3}[/mm]

[ok]

Gruss,
Gono

Bezug
                                
Bezug
Wert einer Reihe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:06 So 21.04.2019
Autor: hase-hh


> Hiho,
>  
> > > was  ist [mm]q^0,[/mm] , was  ist  [mm]q^1[/mm] ?
>  >  
> > [mm]q^0[/mm] = 1   und [mm]q^1[/mm] = q   warum?
> >
> > Natürlich müsste ich die Formel anpassen, je nachdem ob
> > ich mit n=0 oder n=1 beginne...
>  Du hattest dich ja bereits fuer [mm]a_n = \bruch{3}{5}\cdot{}q^n[/mm]
>   entschieden, nun versuche mal ein q zu finden, wenn du
> bei n=1 beginnst...

Äh, meinst du wirklich ein q, oder nur einen anderen Ansatz, d.h.

[mm] a_n [/mm] = [mm] a_1*q^{n-1} [/mm]

?


> > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} (\bruch{2}{3}*(1-0,1^{n+1})[/mm] =
> > [mm]\bruch{2}{3}[/mm]
>  [ok]
>  
> Gruss,
>  Gono


Bezug
                                        
Bezug
Wert einer Reihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:00 So 21.04.2019
Autor: fred97


> > Hiho,
>  >  
> > > > was  ist [mm]q^0,[/mm] , was  ist  [mm]q^1[/mm] ?
>  >  >  
> > > [mm]q^0[/mm] = 1   und [mm]q^1[/mm] = q   warum?
> > >
> > > Natürlich müsste ich die Formel anpassen, je nachdem ob
> > > ich mit n=0 oder n=1 beginne...
>  >  Du hattest dich ja bereits fuer [mm]a_n = \bruch{3}{5}\cdot{}q^n[/mm]
> >   entschieden, nun versuche mal ein q zu finden, wenn du

> > bei n=1 beginnst...
>  
> Äh, meinst du wirklich ein q, oder nur einen anderen
> Ansatz, d.h.

Nein. Ich glaube Gono meint, wenn du  mit  n=1 beginnst,  solltest du  sehen,  dass du eine andere Reihe bekommst.


>  
> [mm]a_n[/mm] = [mm]a_1*q^{n-1}[/mm]
>
> ?
>  
>
> > > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} (\bruch{2}{3}*(1-0,1^{n+1})[/mm] =
> > > [mm]\bruch{2}{3}[/mm]
>  >  [ok]
>  >  
> > Gruss,
>  >  Gono
>  


Bezug
                
Bezug
Wert einer Reihe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:58 Mo 22.04.2019
Autor: hase-hh


> > Soweit ich mich erinnern kann, gibt es eine Summenformel
> > für geometrische Folgen bzw. Reihen...
> >
> > [mm]s_n[/mm] = [mm]a_0*\bruch{1-q^{n+1}}{1-q^n}[/mm]
>  >  
> > [mm]s_n[/mm] = [mm]\bruch{3}{5}*\bruch{1-0,1^{n+1}}{1-0,1}[/mm]
>  >  
> >
> > und jetzt??
> >
> > [mm]s_n[/mm] = [mm]\bruch{3}{4,5}*(1-0,1^{n+1})[/mm]
>  >  
> > bzw.
> >
> > [mm]s_n[/mm] = [mm]\bruch{30}*{45}(1-0,1^{n+1})[/mm]
>  >  
> > [mm]s_n[/mm] = [mm]\bruch{2}{3}*(1-0,1^{n+1})[/mm]
>  >  
> >
> > Ist das so richtig bzw. vollständig?  
>
> Es ist  richtig, aber nicht vollständig.  Es fehlt noch  
> der Grenzwert der  Folge  [mm](s_n)[/mm]
>  
>

Mir ist noch eins aufgefallen. Ist [mm] s_n [/mm] nicht erst der Grenzwert der Summe der Folgenglieder oder wird vielleicht dieser Grenzwert anders bezeichnet???


Bezug
                        
Bezug
Wert einer Reihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:23 Di 23.04.2019
Autor: meili

Hallo hase-hh,

>
> Mir ist noch eins aufgefallen. Ist [mm]s_n[/mm] nicht erst der
> Grenzwert der Summe der Folgenglieder oder wird vielleicht
> dieser Grenzwert anders bezeichnet???
>  

[ok]
Ja, [mm] $s_n$ [/mm] ist die Summe bis zum n-ten Folgenglied.
Der Grenzwert wird mit $s$ oder [mm] $s_{\infty}$ [/mm] (siehe unten Beitrag von HJKweseleit) bezeichnet.

Gruß
meili

Bezug
                                
Bezug
Wert einer Reihe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:05 Di 23.04.2019
Autor: hase-hh

Ah, vielen Dank!! Das hilft mir weiter. ^^

Bezug
        
Bezug
Wert einer Reihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:50 So 21.04.2019
Autor: HJKweseleit

Um die Sache etwas zu beschleunigen:

Für die unendliche geometrische Reihe mit |q|<1 gilt:

[mm] S_{\infty}=erster Summand*\bruch{1}{1-q}. [/mm]

Dabei spielt die Nummerierung des ersten Summanden keine Rolle.

In deinem Beispiel ist also q=1/10 und der erste Summand 3/5, also bekommst du 3/5*1/(1-1/10)=3/5*10/9 = 2/3.



Bezug
                
Bezug
Wert einer Reihe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:55 Mo 22.04.2019
Autor: hase-hh

Ein schöner Lösungsweg!


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