matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenFolgen und ReihenWert einer Reihe
Foren für weitere Studienfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Astronomie • Medizin • Elektrotechnik • Maschinenbau • Bauingenieurwesen • Jura • Psychologie • Geowissenschaften
Forum "Folgen und Reihen" - Wert einer Reihe
Wert einer Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Folgen und Reihen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Wert einer Reihe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:22 Fr 27.01.2023
Autor: Trikolon

Aufgabe
Gegeben ist die Zahlenfolge 0,3; 0,33; 0,333; 0,3333; ...
Berechne die Summe der ersten 100 Folgenglieder!

Hallo zusammen,
ich habe ein paar Probleme mit der (einfach klingenden) Aufgabe.

Zunächst gilt: [mm] a_n= 0,3*\summe_{k=1}^{n} (0,1)^{k-1} [/mm]

Nun komme ich aber nicht wirklich weiter. Meine Vermutung war, dass die Summe der ersten 100 Folgenglieder 33,33..3 (mit 98 Nachkommastellen 3) beträgt.

Über eure Hilfe wäre ich dankbar!



        
Bezug
Wert einer Reihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:11 Fr 27.01.2023
Autor: Gonozal_IX

Hiho,
> Zunächst gilt: [mm]a_n= 0,3*\summe_{k=1}^{n} (0,1)^{k-1}[/mm]

Besser eine Indexverschiebung machen:
[mm]a_n= 0,3*\summe_{k=0}^{n-1} (0,1)^{k}[/mm]

Setzen wir nun q=0,1 erhalten wir:

[mm]a_n= 0,3*\summe_{k=0}^{n-1} q^{k}[/mm]

Das sieht doch sehr nach der []Partialsumme einer geometrischen Reihe aus.

Gruß,
Gono

Bezug
                
Bezug
Wert einer Reihe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:09 Fr 27.01.2023
Autor: Trikolon

Das dachte ich auch erst.
Allerdings muss ja die Summe der ersten 100 Folgenglieder berechnet werden, sprich die Summe über die angegebene Folge [mm] a_n. [/mm] Oder anders ausgedrückt: 1/3 ist ja nicht das Ergebnis wenn ich die ersten 100 Folgenglieder 0,3; 0,33; 0,333; … addiere.

Oder hab ich da jetzt einen Denkfehler?

Bezug
                        
Bezug
Wert einer Reihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:01 Sa 28.01.2023
Autor: fred97


> Das dachte ich auch erst.
>  Allerdings muss ja die Summe der ersten 100 Folgenglieder
> berechnet werden, sprich die Summe über die angegebene
> Folge [mm]a_n.[/mm] Oder anders ausgedrückt: 1/3 ist ja nicht das
> Ergebnis wenn ich die ersten 100 Folgenglieder 0,3; 0,33;
> 0,333; … addiere.
>  
> Oder hab ich da jetzt einen Denkfehler?

nimm die Formel von gono

Du sollst [mm] a_{100} [/mm] berechnen

Gruß Fred


Bezug
                                
Bezug
Wert einer Reihe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 07:07 Sa 28.01.2023
Autor: Trikolon

Das habe ich ja bereits gemacht, dann ist a_100=0,333333….

Dies entspricht aber nicht der Summe der ersten 100 Folgenglieder, weil ja bereits [mm] a_1+a_2>0,6 [/mm]

Bezug
                                        
Bezug
Wert einer Reihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:45 Sa 28.01.2023
Autor: fred97


> Das habe ich ja bereits gemacht, dann ist
> a_100=0,333333….
>  
> Dies entspricht aber nicht der Summe der ersten 100
> Folgenglieder, weil ja bereits [mm]a_1+a_2>0,6[/mm]  

Du sollst nicht [mm] a_{1}+.....+a_{100} [/mm] berechnen, sondern [mm] a_{100}. [/mm]


Bezug
                                                
Bezug
Wert einer Reihe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:47 Sa 28.01.2023
Autor: Trikolon

Ich stehe offensichtlich auf dem Schlauch. a_100 ist für mich bei der Folge in der ursprünglichen Aufgabenstellung 0,33333 mit 100 Nachkommastellen 3.

Bezug
                                                        
Bezug
Wert einer Reihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:28 Sa 28.01.2023
Autor: fred97


> Ich stehe offensichtlich auf dem Schlauch. a_100 ist für
> mich bei der Folge in der ursprünglichen Aufgabenstellung
> 0,33333 mit 100 Nachkommastellen 3.

schreibe das als schönen Bruch,  benutze dabei die obige Formel


Bezug
                        
Bezug
Wert einer Reihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:28 So 29.01.2023
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

wie berechnet sich denn [mm] $\summe_{k=0}^{n-1}q^n$? [/mm]
Dafür gibt es eine geschlossene Form, da muss man nix rechnen…

Gruß,
Gono

Bezug
        
Bezug
Wert einer Reihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:12 Sa 28.01.2023
Autor: HJKweseleit

Es geht ganz ohne Summenzeichen und fast ohne Variable.

Bezeichne die Summe mit S. Schreibe 10*S hin und darunter um eine Position versetzt S:

10*S = 3 + 3,3 + 3,33 + 3,333 + 3,3333 + ... + [mm] 10*a_{100} [/mm]
   S =     0,3 + 0,33 + 0,333 + 0,3333 + ... +    [mm] a_{99} [/mm] + [mm] a_{100} [/mm]

Nun Subtrahieren wir positionsweise:

9*S = 3 + 3   + 3    + 3     + 3       + ... + 3 - [mm] a_{100} [/mm]

9*S = 300 - [mm] a_{100} [/mm]

S = (300 - [mm] a_{100})/9 [/mm]

Du warst ganz nah dran. Schade, dass es nicht 99 Folgeglieder sind, dann käme eine abbrechende Dezimalzahl heraus.

Bezug
                
Bezug
Wert einer Reihe: Zusatzbemerkung:
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:31 So 29.01.2023
Autor: HJKweseleit

[mm] a_1 [/mm] = 0,3  = 0,3333333... - 0,033333...  = 1/3 - 1/30  = [mm] 1/3(1-10^{-1}) [/mm]
[mm] a_2 [/mm] = 0,33 = 0,3333333... - 0,0033333... = 1/3 - 1/300 = [mm] 1/3(1-10^{-2}) [/mm]

...

[mm] a_{100} [/mm] = [mm] 1/3(1-10^{-100}) [/mm]

Bezug
                        
Bezug
Wert einer Reihe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:37 So 29.01.2023
Autor: Trikolon

Vielen Dank für die Hilfe!

Diesen Wert für a_100 habe ich auch mit der Formel der Partialsumme der geometrischen Reihe erhalten.

Damit ergibt sich als Summe der 100 Folgenglieder: 33,296.

Kann man dies auch noch anders berechnen als mit dem ,,Umsortieren'' der Summanden (ein schöner ,,Trick''!)

Bezug
                                
Bezug
Wert einer Reihe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:42 Mo 30.01.2023
Autor: Trikolon

Nur um sicher zu gehen: Meine angegebene Summe war korrekt?


Bezug
                                        
Bezug
Wert einer Reihe: siehe andere Antwort
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 08:57 Di 31.01.2023
Autor: Loddar

Hallo Trikolon!


> Nur um sicher zu gehen: Meine angegebene Summe war korrekt?

[daumenhoch] Wie hier auch vorgerechnet wurde.


Gruß
Loddar

Bezug
                                
Bezug
Wert einer Reihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:57 Mo 30.01.2023
Autor: HJKweseleit

Ja. Warum einfach, wenn's auch kompliziert geht?

Es ist [mm] a_n [/mm] = [mm] 0,3\summe_{i=0}^{n-1} 0,1^i [/mm] = (geom. Reihe:) [mm] 0,3\bruch{1-0,1^n}{1-0,1} [/mm] = [mm] \bruch{0,3}{0,9} (1-0,1^n) [/mm] = [mm] \bruch{1}{3} (1-0,1^n) [/mm] = [mm] \bruch{1}{3} [/mm] - [mm] \bruch{1}{3}*0,1^n [/mm]

Dann ist die Summe daraus

[mm] \summe_{i=1}^{100} (\bruch{1}{3} [/mm] - [mm] \bruch{1}{3}*0,1^n) =\summe_{i=1}^{100} \bruch{1}{3} [/mm] - [mm] \bruch{1}{3}\summe_{i=1}^{100} 0,1^n [/mm] = [mm] \bruch{100}{3} [/mm] - [mm] \bruch{1}{3}\summe_{i=0}^{99} 0,1^{n+1}= \bruch{100}{3} [/mm] - [mm] \bruch{0,1}{3}\summe_{i=0}^{99} 0,1^n [/mm]  = [mm] \bruch{100}{3} [/mm] - [mm] \bruch{0,3}{9}\summe_{i=0}^{99} 0,1^n [/mm]  = [mm] \bruch{100}{3} [/mm] - [mm] \bruch{1}{9}*0,3\summe_{i=0}^{99} 0,1^n [/mm]  = [mm] \bruch{100}{3} [/mm] - [mm] \bruch{1}{9} a_{100} [/mm]

[mm] \approx [/mm] 33.296296296...


Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Folgen und Reihen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]