Wert einer Reihe < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo allerseits!
Wie sind im [mm] \IC [/mm] und wir haben eine Potenzreihe mit Konvergenzradius R . Für alle z im Konvergenzbereich , d.h z [mm] \in [/mm] {|z-z0|<R} mit z0 der Entwicklungspunkt , konvergiert die Reihe.
Meine Frage ist : konvergiert die Reihe immer gegen den gleichen Wert für alle z ? oder konvergiert die Reihe immer gegen einen anderen Wert wenn man verschiedene z nimmt ? also ist es möglich dass für z [mm] \not= [/mm] w , die Reihe gegen den gleichen Wert konvergiert?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Danke im voraus
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:19 So 03.05.2009 | | Autor: | Denny22 |
Hallo,
> Wie sind im [mm]\IC[/mm] und wir haben eine Potenzreihe mit
> Konvergenzradius R . Für alle z im Konvergenzbereich , d.h
> z [mm]\in[/mm] {|z-z0|<R} mit z0 der Entwicklungspunkt , konvergiert
> die Reihe.
> Meine Frage ist : konvergiert die Reihe immer gegen den
> gleichen Wert für alle z ? oder konvergiert die Reihe
> immer gegen einen anderen Wert wenn man verschiedene z
> nimmt ? also ist es möglich dass für z [mm]\not=[/mm] w , die Reihe
> gegen den gleichen Wert konvergiert?
Die Reihe muss nicht immer gegen den selben Wert konvergieren. Betrachte die komplexe Exponentialreihe um den Entwicklungspunkt 0 (mit Konvergenzradius unendlich):
[mm] $\exp(z)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^n}{n!}$
[/mm]
Diese stimmt für reelle Werte mit der reellen Exponentialfunktion überein. Würde sie für jedes z gegen denselben Wert konvergieren, so müsste [mm] $\exp$ [/mm] konstant sein. Diese Funktion ist aber nicht konstant.
Gruß
|
|
|
| |
|
Hallo Denny!
danke für die schnelle Antwort!
Die Exponentialreihe strebt nicht immer gegen den gleichen Wert! Das ist klar.
Ich würde jetzt auch gerne wissen, ob es aber Reihen gibt die für verschiedene z gegen den gleichen Wert konvergieren... nicht unbedingt für alle z , weil dann haben wir , wie du es bereits erwähnt hast , eine konstante Funktion.
Also für z und w mit z [mm] \not= [/mm] w , konvergiert die Reihe gegen den gleichen Wert! Gibt es solche Potenzreihen?
LG
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 02:17 So 03.05.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
nimm ein polynom n ten Grades. das hat etwa n Nullstellen. ausserdem ist es ne Reihe, wo eben nur alle [mm] a_i>n [/mm] =0 sind.
Wenn die potenzreihe ne fkt darstellt, kann sie natuerlich an verschiedenen punkten denselben wert annehmem. Aber nur die potenzreihe fuer z=const hat ueberall den selben Wert.
Gruss leduart
|
|
|
|
