Wert einer Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:05 Do 25.03.2010 | | Autor: | trulla |
| Aufgabe | Bestimmen Sieden Wert der Reihen:
a) [mm] \summe_{k=2}^{\infty} \bruch{2}{k^{2}-1}
[/mm]
b) [mm] \summe_{k=2}^{\infty} \bruch{2}{5^{k}} [/mm] + [mm] \bruch{(-1)^{k}}{2^{k}} [/mm] |
Zunächst wüsste ich gern erstmal, ob ich damit richtig liege, dass der Wert einer Reihe ihr Grenzwert ist?
bei a) weiß ich, dass durch kürzen mit k² eine nullfolge rauskommt, aber wie ich dann den Grenzwert für die Reihe ermittle, weiß ich nicht. Durch probieren, weiß ich, dass die Reihe nicht über 2 kommt. Ist 2 der Grenzwert? Und wie komme ich auf mathematischem Weg darauf?
bei b) weiß ich leider gar nicht, wie ich vorgehen muss.
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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Huhu Trulla,
bei 1.) beachte dass [mm] $k^2 [/mm] - 1 = (k+1)(k-1)$ und mach eine Partialbruchzerlegung.
Da fällt dann einiges weg, wenn du es dir dann mal genauer anschaust 
Bei 2.) Zerleg die Summe in 2 Einzelsummen und dann 2x geometrische Reihe.
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:42 Do 25.03.2010 | | Autor: | trulla |
Partialbruchzerlegung bei Reihen? Ich kenn das bisher nur bei Integralen, mache ich das hier genauso?
wenn ja, komme ich dann bei a) auf
[mm] \summe_{k=2}^{\infty} \bruch{1}{k-1} [/mm] - [mm] \summe_{k=2}^{\infty} \bruch{1}{k+1} [/mm] ?
wenn ja, wie gehts jetzt weiter?
und bei b) muss ich dann sicher erstmal eine indexverschiebung machen, dann komme ich auf:
[mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{2}{5^{k+1}} [/mm] + [mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{(-1)^{k+1}}{2^{k+1}}
[/mm]
also auf [mm] \summe_{k=1}^{\infty} 2*5^{-k-1} [/mm] + [mm] \summe_{k=1}^{\infty} (-1)^{k+1} [/mm] * [mm] 2^{-k-1}
[/mm]
ich weiß, dass für die geometrische reihegilt:
[mm] \summe_{k=1}^{\infty} a*q^{k-1} =\bruch{a}{1-q} [/mm] für |q|<1
bei mir ist aber der betrag von q nicht kleiner 1 und im exponent steht auch nicht k-1 sonder -k-1
weiß alsonicht, wie ich die geometrische reihe hier anwenden soll
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> wenn ja, komme ich dann bei a) auf
> [mm]\summe_{k=2}^{\infty} \bruch{1}{k-1}[/mm] -
> [mm]\summe_{k=2}^{\infty} \bruch{1}{k+1}[/mm] ?
> wenn ja, wie gehts jetzt weiter?
Mach bei der zweiten Summe mal eine Indexverschiebung, dass sie bei $k=4$ losgeht, was fällt dir auf?
> und bei b) muss ich dann sicher erstmal eine
> indexverschiebung machen, dann komme ich auf:
warum?
Mach eher mal eine Indexverschiebung, so dass die Summe bei $k=3$ losgeht, dann hast du schonmal deine $k-1$ im Exponenten.
Dann kannst du vor die Summe ja noch "0" addieren, indem du die Summanden für $k=1,2$ vor die Summe schreibst und sie aber auch wieder abziehst. Dann hast du eine geometrische Reihe, die bei 1 startet :)
Desweiteren gilt ja [mm] $\bruch{2}{5^k} [/mm] = [mm] 2\left(\bruch{1}{5}\right)^k$ [/mm] und schon ist dein $|q| < 1$
In der hinteren Summe analog.
MFG,
Gono
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