Wert einer Teleskopreihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:49 Do 09.12.2010 | | Autor: | Wiesel89 |
| Aufgabe | Benutzen Sie das Prinzip der Teleskopreihe, um die Werte folgender Reihe zu bestimmen:
[mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{n(n+1)(n+2)}[/mm] |
Ich ermittle die Nullstellen im Nenner:
n=0
n=-1
n=-2
Nun zerlege ich in Partialbrüche:
[mm]\bruch{1}{n(n+1)(n+2)} = \bruch{A}{n+0} + \bruch{B}{n+1} + \bruch{C}{n+2}[/mm]
Ausmultipliziert ergibt das:
[mm]1 = A(n+1)(n+2) + B(n)(n+2) + C(n)(n+1)[/mm]
Nun setze ich die obigen Nullstellen nacheinander ein um die Zähler zu ermitteln:
A = 1/2
B = -1
C = 1/2
Und ich erhalte folgendes Ergebnis:
[mm]\bruch{1}{n(n+1)(n+2)} = \bruch{1}{2n} + \bruch{-1}{n+1} + \bruch{1}{2(n+2)}[/mm]
oder auch(mittlerer Term mit 2 erweitert):
[mm]\bruch{1}{n(n+1)(n+2)} = \bruch{1}{2n} + \bruch{-2}{2(n+1)} + \bruch{1}{2(n+2)}[/mm]
Ich klammere nun die (1/2) aus:
[mm]\bruch{1}{n(n+1)(n+2)} = \bruch{1}{2}(\bruch{1}{n} + \bruch{-2}{n+1} + \bruch{1}{n+2})[/mm]
Und das wieder als Summe geschrieben:
[mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{n(n+1)(n+2)} = \bruch{1}{2}(\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{n} + \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{-2}{n+1} + \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{n+2})[/mm]
Laut des Teleskopprinzips erhalte ich damit:
[mm]\bruch{1}{2} * (1+(-2*\bruch{1}{2}) + \bruch{1}{3}) = \bruch{1}{6}[/mm]
Richtig? Also der größte Teil ist bereits verifiziert, nur die letzten 2 Schritte noch nicht.
|
|
| |
|
Hallo,
> Benutzen Sie das Prinzip der Teleskopreihe, um die Werte
> folgender Reihe zu bestimmen:
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{n(n+1)(n+2)}[/mm]
>
>
> Ich ermittle die Nullstellen im Nenner:
>
> n=0
> n=-1
> n=-2
>
> Nun zerlege ich in Partialbrüche:
>
> [mm]\bruch{1}{n(n+1)(n+2)} = \bruch{A}{n+0} + \bruch{B}{n+1} + \bruch{C}{n+2}[/mm]
>
> Ausmultipliziert ergibt das:
>
> [mm]1 = A(n+1)(n+2) + B(n)(n+2) + C(n)(n+1)[/mm]
>
> Nun setze ich die obigen Nullstellen nacheinander ein um
> die Zähler zu ermitteln:
>
> A = 1/2
> B = -1
> C = 1/2
>
> Und ich erhalte folgendes Ergebnis:
>
> [mm]\bruch{1}{n(n+1)(n+2)} = \bruch{1}{2n} + \bruch{-1}{n+1} + \bruch{1}{2(n+2)}[/mm]
>
> oder auch(mittlerer Term mit 2 erweitert):
>
> [mm]\bruch{1}{n(n+1)(n+2)} = \bruch{1}{2n} + \bruch{-2}{2(n+1)} + \bruch{1}{2(n+2)}[/mm]
>
> Ich klammere nun die (1/2) aus:
>
> [mm]\bruch{1}{n(n+1)(n+2)} = \bruch{1}{2}(\bruch{1}{n} + \bruch{-2}{n+1} + \bruch{1}{n+2})[/mm] ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Sehr schön soweit!
>
> Und das wieder als Summe geschrieben:
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{n(n+1)(n+2)} = \bruch{1}{2}(\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{n} + \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{-2}{n+1} + \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{n+2})[/mm]
Das ist heikel aufgeschrieben, unendliche Summen darf man nicht ohne weiteres auseinanderzeihen!
Schreibe besser [mm] $=\frac{1}{2}\cdot{}\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{n}-\frac{2}{n+1}+\frac{1}{n+2}\right)$
[/mm]
Bedenke, dass [mm] $\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n=\lim\limits_{k\to\infty}\underbrace{\sum\limits_{n=1}^{k}}_{=:S_k}$ [/mm] ist
Also der Reihenwert ist der GW der Partialsummenfolge.
Und eine solche k-te Partialsumme [mm] $S_k$ [/mm] ist endlich, da kannst du also schön auseinanderziehen.
Dann entweder mit ... schreiben oder Indexverschiebungen machen und alles auf denselben Nenner bringen, dann siehst du, was sich alles weghebt und was bleibt.
Am Ende [mm] $k\to\infty$ [/mm] und du hast den Reihenwert
>
> Laut des Teleskopprinzips erhalte ich damit:
>
> [mm]\bruch{1}{2} * (1+(-2*\bruch{1}{2}) + \bruch{1}{3}) = \bruch{1}{6}[/mm]
DERIVE sagt, da kommt [mm] $\frac{1}{4}$ [/mm] raus.
Rechne nochmal nach bzw. hier vor, wie du auf die Werte da kommst ...
Rechne es aber auch mal "richtig" mit den Partialsummen und der Indexverschiebung.
Das ist ein schöner und formal korrekter Weg
>
> Richtig? Also der größte Teil ist bereits verifiziert,
> nur die letzten 2 Schritte noch nicht.
>
Gruß
schachuzipus
|
|
|
|
