Werte streng monoton < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
es sei a [mm] \in \IR [/mm] und f : [mm] ]-1,\infty[ \to \IR [/mm]
f(x) := [mm] \bruch{1+ax}{1+x} [/mm] differenzierbar.
Ich möchte nun alle Werte von a [mm] \in \IR [/mm] angeben, für die f streng monoton
ist.
Also habe ich die erste Ableitung gebildet
f'(x) = [mm] \bruch{a-1}{(1+x)^2}
[/mm]
d.h.
für alle a [mm] \le [/mm] 0 ist f streng monoton fallend und
für alle a > 1 ist f streng monoton wachsend.
Habe ich das so richtig "erkannt"?
Danke,
Anna
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Hallo Anna,
> Hallo,
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> es sei a [mm]\in \IR[/mm] und f : [mm]]-1,\infty[ \to \IR[/mm]
> f(x) := [mm]\bruch{1+ax}{1+x}[/mm] differenzierbar.
>
> Ich möchte nun alle Werte von a [mm]\in \IR[/mm] angeben, für die f
> streng monoton
> ist.
> Also habe ich die erste Ableitung gebildet
> f'(x) = [mm]\bruch{a-1}{(1+x)^2}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> d.h.
> für alle a [mm]\le[/mm] 0
du meinst [mm] $a\le [/mm] 1$ (bzw. $a<1$, für a=1 ist das Ding konstant [mm] \equiv [/mm] 1)
> ist f streng monoton fallend und
> für alle a > 1 ist f streng monoton wachsend.
>
> Habe ich das so richtig "erkannt"?
Jo
>
> Danke,
> Anna
LG
schachuzipus
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Hi,
wo genau soll denn da ein Wendepunkt sein?
Ich sehe da keine, keine der Ableitungen (auch höhere) von f haben NSTen
LG
schachuzipus
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:44 Sa 24.05.2008 | | Autor: | Anna-Lyse |
Hallo,
ich sollte einfach nur rechnen und nicht nochmal neugierigerweise danach
mir eine Funktion plotten lassen. Vor allen Dingen nicht, wenn man
dabei einen Tippfehler macht 
Also sorry, Du/wir hatten natürlich Recht.
Danke,
Anna
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Hallo,
wie mache ich denn das jetzt, wenn ich
D := [mm] f(]-1,\infty[) [/mm] für alle a [mm] \in \IR [/mm] bestimmen möchte?
Danke,
Anna
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Oh wei, neuer Versuch
Also nimm dir mal den Funktionsterm [mm] f_a(x) [/mm] her
Untersuche [mm] $\lim\limits_{x\downarrow -1}{f_a(x)}$ [/mm] und [mm] $\lim\limits_{x\to\infty}f_a(x)$
[/mm]
Dann weißt du, dass [mm] $f_a$ [/mm] stetig ist auf [mm] $(-1,\infty)$, [/mm] also....
LG
schachuzipus
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Hallo schachuzipus,
also ist es so wie ich vorhin schon schrieb, dass D = [mm] ]-\infty,\infty[ [/mm] für alle [mm] a\in \IR [/mm] ?
Danke,
Anna
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Hallo Anna,
war gerade noch schnell schnell einkaufen, der letzte im Laden, wie immer
> Hallo schachuzipus,
>
> also ist es so wie ich vorhin schon schrieb, dass D =
> [mm]]-\infty,\infty[[/mm] für alle [mm]a\in \IR[/mm] ? ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Nein, das stimmt nicht.
Für den GW für [mm] $x\to\infty$ [/mm] klammere in Zähler und Nenner x aus und kürze, der GW für [mm] $x\downarrow [/mm] -1$ (bzw sein Vorzeichen) hängt von a ab
Zeig mal deine Rechnung
>
> Danke,
> Anna
>
LG
schachuzipus
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Hallo schachuzipus,
sorry, dass ich jetzt erst wieder schreibe!! Hatte die vergangenen Tage immer
wieder einen Anlauf genommen, aber wurde dann durch andere Dinge
doch wieder davon abgehalten. :-(
> war gerade noch schnell schnell einkaufen, der letzte im
> Laden, wie immer
Ja, das kenne ich auch ![[happy]](/images/smileys/happy.gif "[happy]") . Gut, dass es jetzt schon Supermärkte
gibt, die rund um die Uhr aufhaben. ![[lichtaufgegangen]](/images/smileys/lichtaufgegangen.gif "[lichtaufgegangen]")
Was nun den Grenzwert betrifft:
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{1+ax}{1+x} [/mm] = [mm] \bruch{x(\bruch{1}{x}+a)}{x(\bruch{1}{x}+1)} [/mm] = a
Also ist
D = [mm][a,\infty[[/mm] für alle [mm]a\in \IR[/mm]
Oder habe ich da schon wieder was falsch gerechnet? ![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
Danke,
Anna
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Hallo nochmal, Anna,
> Hallo schachuzipus,
>
> sorry, dass ich jetzt erst wieder schreibe!! Hatte die
> vergangenen Tage immer
> wieder einen Anlauf genommen, aber wurde dann durch andere
> Dinge
> doch wieder davon abgehalten. :-(
>
> > war gerade noch schnell schnell einkaufen, der letzte im
> > Laden, wie immer
>
> Ja, das kenne ich auch . Gut, dass es jetzt schon
> Supermärkte
> gibt, die rund um die Uhr aufhaben.
Boah, da bin ich jetzt aber neidisch, hier in Kölle ist um 22 Uhr Feierabend
>
>
> Was nun den Grenzwert betrifft:
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{1+ax}{1+x}[/mm] =
> [mm]\bruch{x(\bruch{1}{x}+a)}{x(\bruch{1}{x}+1)}[/mm] = a
>
> Also ist
> D = [mm][a,\infty[[/mm] für alle [mm]a\in \IR[/mm]
Hmm, der GW für [mm] $x\downarrow [/mm] -1$ von [mm] $f_a(x)$ [/mm] hängt aber doch von $a$ ab, oder sehe ich das falsch?
Das Biest strebt doch gegen [mm] $\frac{1-a}{0}=\begin{cases} \infty, & \mbox{für } a < 1 \\ -\infty , & \mbox{für } a > 1 \end{cases}$
[/mm]
Für $a=1$ ist [mm] $f_a(x)=\frac{1+x}{1+x}=1$, [/mm] also [mm] $\lim\limits_{x\downarrow -1}f_1(x)=1$
[/mm]
Also hast du als Bild von [mm] $(-1,\infty)$ [/mm] unter [mm] $f_a$:
[/mm]
(1) [mm] $(a,\infty)$ [/mm] für $a < 1$
(2) [mm] $(-\infty,a)$ [/mm] für $a > 1$
(3) [mm] $\{1\}$ [/mm] für $a=1$
>
> Oder habe ich da schon wieder was falsch gerechnet?
>
>
> Danke,
> Anna
Bis dann und LG
schachuzipus
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Hallo schachuzipus,
DANKE für Deine schnelle Antwort!
> Boah, da bin ich jetzt aber neidisch, hier in Kölle ist um
> 22 Uhr Feierabend
Echt? Hätte ich jetzt gar nicht über Köln gedacht 
> Hmm, der GW für [mm]x\downarrow -1[/mm] von [mm]f_a(x)[/mm] hängt aber doch
> von [mm]a[/mm] ab, oder sehe ich das falsch?
Nein, ich glaube nicht, dass Du das falsch siehst.
> Das Biest strebt doch gegen [mm]\frac{1-a}{0}=\begin{cases} \infty, & \mbox{für } a < 1 \\ -\infty , & \mbox{für } a > 1 \end{cases}[/mm]
>
> Für [mm]a=1[/mm] ist [mm]f_a(x)=\frac{1+x}{1+x}=1[/mm], also
> [mm]\lim\limits_{x\downarrow -1}f_1(x)=1[/mm]
>
> Also hast du als Bild von [mm](-1,\infty)[/mm] unter [mm]f_a[/mm]:
>
> (1) [mm](a,\infty)[/mm] für [mm]a < 1[/mm]
>
> (2) [mm](-\infty,a)[/mm] für [mm]a > 1[/mm]
>
> (3) [mm]\{1\}[/mm] für [mm]a=1[/mm]
>
Hm, im Grunde lag ich doch dann mit meiner Erstberechnung doch nicht
so falsch, als ich D := [mm] ]-\infty,\infty[ [/mm] für alle [mm] a\in \IR [/mm] definiert habe.
Ich habe lediglich vergessen a=1 davon auszunehmen.
Oder wäre es falsch zu schreiben:
D := [mm] ]-\infty,\infty[ [/mm] für alle a [mm] \in \IR \setminus [/mm] {1} und D:= 1 für a = 1
Gruß,
Anna
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So hallo nochmal, bin auf dem Sprung, also ganz kurz:
> Hm, im Grunde lag ich doch dann mit meiner Erstberechnung
> doch nicht
> so falsch, als ich D := [mm]]-\infty,\infty[[/mm] für alle [mm]a\in \IR[/mm]
> definiert habe.
> Ich habe lediglich vergessen a=1 davon auszunehmen.
> Oder wäre es falsch zu schreiben:
> D := [mm]]-\infty,\infty[[/mm] für alle a [mm]\in \IR \setminus[/mm] {1}
Das würde bedeuten, dass du sagst, dass auch für zB a=4 das Bild von [mm] $(-1,\infty)$ [/mm] unter [mm] $f_4(x)$ [/mm] das Intervall [mm] $(-\infty,\infty)$ [/mm] ist
Und das stimmt ja nicht, oder? Haben wir ja oben gesehen
Ich denke, du solltest diese geteilte Schreibweise verwenden, je nach a ist das Bild ein anderes, wenn du's so einheitlich schreibst, dann stimmt's einfach nicht
und
> D:= [mm] \red{\{1\}}
[/mm]
Das ist ne Menge
> für a = 1
>
> Gruß,
> Anna
Dito
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:59 Fr 30.05.2008 | | Autor: | Anna-Lyse |
Hallo schachuzipus,
Du hast natürlich Recht. Ich sehe es ein, ohne die geteilte
Schreibweise ist meine Definition von D doch falsch.
Und auch die Klammern bei der 1 habe ich vergessen. Stimmt.
Vielen Dank, dass Du mir trotz wenig Zeit noch so geholfen hast!!
Spring nicht zu tief (ins Wasser) und einen schönen Sonnentag!
Gruß,
Anna
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Hallo,
ich habe nochmal eine kurze Frage dazu:
> Also hast du als Bild von [mm](-1,\infty)[/mm] unter [mm]f_a[/mm]:
>
> (1) [mm](a,\infty)[/mm] für [mm]a < 1[/mm]
Es ist doch ein offenes Intervall, also ]a, [mm] \infty[ [/mm] und nicht
ein rechts halboffenes Intervall [mm] [a,\infty[ [/mm] oder?
> (2) [mm](-\infty,a)[/mm] für [mm]a > 1[/mm]
Hier ebenso ein offenes Intervall?!
Danke,
Anna
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Hallo Anna,
> Hallo,
>
> ich habe nochmal eine kurze Frage dazu:
>
> > Also hast du als Bild von [mm](-1,\infty)[/mm] unter [mm]f_a[/mm]:
> >
> > (1) [mm](a,\infty)[/mm] für [mm]a < 1[/mm]
>
> Es ist doch ein offenes Intervall, also ]a, [mm]\infty[[/mm] und
> nicht
> ein rechts halboffenes Intervall [mm][a,\infty[[/mm] oder?
genau, es ist das offene Intervall gemeint
>
> > (2) [mm](-\infty,a)[/mm] für [mm]a > 1[/mm]
>
> Hier ebenso ein offenes Intervall?!
Jau
>
>
> Danke,
> Anna
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:39 Mo 02.06.2008 | | Autor: | Anna-Lyse |
Hallo schachuzipus,
DANKE!
Gruß,
Anna
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Hallo,
ich möchte nun [mm] (f^{-1})'(1) [/mm] bestimmen.
Das müsste ja gehen, weil die Umkehrfunktion [mm] f^{-1} [/mm] ja für alle a [mm] \in \IR \setminus [/mm] {1}
existiert, korrekt?
Also habe ich [mm] (f^{-1})'(1) [/mm] = 1-a errechnet (für alle a [mm] \in \IR \setminus [/mm] {1}).
Stimmt das?
Danke,
Anna
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> Also habe ich [mm](f^{-1})'(1)[/mm] = 1-a errechnet (für alle a [mm]\in \IR \setminus[/mm]
> {1}).
> Stimmt das?
Hallo,
ich bekomme etwas anderes.
Es ist doch [mm] (f^{-1})'(y) [/mm] =( [mm] f'(x))^{-1},
[/mm]
also [mm] (f^{-1})'(1) [/mm] =( [mm] f'(0))^{-1}=?
[/mm]
Gruß v. Angela
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Hallo Angela,
huch, ich habe wie ich sehe hier die 1 vergessen, ich habe
[mm] \bruch{1}{a-1} [/mm] raus, stimmt das?
Ich habe so gerechnet:
[mm] (f^{-1})'(1)=\bruch{1}{f'(0)}=\bruch{1}{a-1}
[/mm]
für alle a [mm] \in \IR \subsetminus [/mm] {1}
Danke,
Anna
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Hallo,
ja, so ist's richtig.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:35 Mo 02.06.2008 | | Autor: | Anna-Lyse |
Hallo Angela,
super. Danke.
Gruß,
Anna
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![[sorry]](/images/smileys/sorry.gif "[sorry]"){kind=small}
![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]"){kind=small}
