Werte von Winkeln bestimmen < komplexe Zahlen < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Berechnen Sie mit Hilfe der komplexen Zahlen u=1+i und [mm] v=3+i\wurzel{3} [/mm] die Werte von sin(15°) und cos(15°). |
Ich hab leider keine Ahnung wie ich an diese Aufgabe rangehen soll. Ich verstehe nicht was die Winkel mit den komplexen Zahlen zu tun haben sollen. In anderen Aufgabentypen wird ja z.B. verlangt die Werte von komplexen Zahlen auszurechnen, was kein Problem darstellt. Aber wie ich jetzt die Werte von den Winkeln ausrechnen soll weiß ich leider nicht... Kann mir vielleicht jemand eine kleine Starthilfe geben?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Berechnen Sie mit Hilfe der komplexen Zahlen u=1+i und
> [mm]v=3+i\wurzel{3}[/mm] die Werte von sin(15°) und cos(15°).
> Ich hab leider keine Ahnung wie ich an diese Aufgabe
> rangehen soll. Ich verstehe nicht was die Winkel mit den
> komplexen Zahlen zu tun haben sollen. In anderen
> Aufgabentypen wird ja z.B. verlangt die Werte von komplexen
> Zahlen auszurechnen, was kein Problem darstellt. Aber wie
> ich jetzt die Werte von den Winkeln ausrechnen soll weiß
> ich leider nicht... Kann mir vielleicht jemand eine kleine
> Starthilfe geben?
Hallo Felix,
zeichne dir mal die Zeiger der beiden komplexen
Zahlen in der Gaußschen Ebene ein. (Zeiger =
Pfeil von Null zur Zahl) und schau dir das Bild an.
Das Ganze soll mit Winkeln zu tun haben ...
also krame deine Trigonometriekenntnisse hervor.
LG
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Ja okay, ich habe jetzt die komplexen Zahlen eingezeichnet. Aber ich komme immer noch nich drauf, was genau ich eigentlich ausrechnen soll, also was mit "Werte" speziell gemeint ist. Der Betrag von den komplexen Zahlen ist ja quasi die Länge der Hypothenuse. Soll ich dann vielleicht die Längen der Katheten bestimmen? Ich steh grad echt voll auf dem Schlauch.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:51 Mo 16.11.2009 | | Autor: | fred97 |
Ist $z = x+iy$ (mit x,y [mm] \in \IR) [/mm] und z [mm] \not= [/mm] 0, so lässt sich z auch mit einem eindeutig bestimmten Winkel [mm] \alpha \in [/mm] [0°, 360°) darstellen in der Form
$z [mm] =|z|(cos(\alpha)+i sin(\alpha)),$
[/mm]
wobei $|z| = [mm] \wurzel{x^2+y^2}$ [/mm] ist
FRED
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Diese Darstellungsform kenn ich. Aber ich dachte nicht, dass ich da die Werte jeweils einfach so einsetzen soll. Also wenn ich das jetzt richtig verstanden habe:
für u = 1+i
|u|= [mm] \wurzel{2}
[/mm]
also
z= [mm] \wurzel{2} [/mm] (cos(15°)+isin(15°)) = [mm] \wurzel{2}+i\bruch{\wurzel{2}}{4}
[/mm]
und das analog zur zweiten komplexen zahl und das wars?
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> Diese Darstellungsform kenn ich. Aber ich dachte nicht,
> dass ich da die Werte jeweils einfach so einsetzen soll.
> Also wenn ich das jetzt richtig verstanden habe:
>
> für u = 1+i
>
> |u|= [mm]\wurzel{2}[/mm]
> also
> z= [mm]\wurzel{2}[/mm] (cos(15°)+isin(15°)) =
> [mm]\wurzel{2}+i\bruch{\wurzel{2}}{4}[/mm]
>
> und das analog zur zweiten komplexen zahl und das wars?
>
Die Zahl u=1+i hat natürlich nicht den Winkel 15° !
Hast du dir denn die Zeichnung wirklich gemacht, die
ich dir empfohlen habe ?
Berechne also zuerst die Polarwinkel von u und v.
Dann solltest du merken, was gemeint ist.
LG Al-Chw.
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Ja ich habe die Zeichnung gemacht bloß die Polarwinkel nicht ausgerechnet. Aber ich denke, das war jetzt der entscheidende Tipp. Die Polarwinkel sind einmal 45° und 30° die Differenz beträgt also 15°. Ich habe die komplexen Zahlen in die eulersche Form umgewandelt und [mm] \bruch{u}{v} [/mm] ausgerechnet. Nun habe ich das Ergebniss in z= [mm] r(cos\alpha [/mm] + [mm] isin\alpha) [/mm] eingesetzt.
Also: z= [mm] \bruch{2}{5}(cos15° [/mm] + isin15°)
Und jenes dann ausmultipliziert.
Ich hoffe das kommt der Löung jetzt etwas näher :/ ?
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> Ja ich habe die Zeichnung gemacht bloß die Polarwinkel
> nicht ausgerechnet. Aber ich denke, das war jetzt der
> entscheidende Tipp. Die Polarwinkel sind einmal 45° und
> 30° die Differenz beträgt also 15°. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Ich habe die komplexen Zahlen in die eulersche Form um-
> gewandelt und [mm]\bruch{u}{v}[/mm] ausgerechnet. Nun habe ich das Ergebnis
> in z= [mm]r(cos\alpha[/mm] + [mm]i\,sin\alpha)[/mm] eingesetzt.
> Also: z= [mm]\bruch{2}{5}(cos15°[/mm] + isin15°)
> Und jenes dann ausmultipliziert.
> Ich hoffe das kommt der Löung jetzt etwas näher :/ ?
So war es aber trotzdem nicht gemeint. Du sollst nicht
sin(15°) und cos(15°) vom Rechner ablesen und einsetzen,
sondern diese Werte selber berechnen !
Dies kannst du, indem du die Division [mm] \frac{u}{v} [/mm] in
kartesischer Form durchführst.
LG Al-Chw.
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Also, ich soll die komplexen Zahlen gar nicht erst umformen sondern einfach [mm] \bruch{1+i}{3+i\wurzel{3}} [/mm] ausrechnen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:25 Mo 16.11.2009 | | Autor: | EdwinMoses |
Also ich hab jetzt beide Möglichkeiten gleichgesetzt und jeweils die gleichen ergebnisse rausbekommen. Einmal mit Taschenrechner und einmal ohne. Bei beidem kommt das selbe raus und somit is die Aufgabe wohl gelöst.
Ich bedanke mich recht herzlich für die große Hilfe. Das hat mir sehr geholfen
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> Also, ich soll die komplexen Zahlen gar nicht erst umformen
> sondern einfach [mm]\bruch{1+i}{3+i\wurzel{3}}[/mm] ausrechnen?
Das geht ja so:
$\ [mm] \bruch{1+i}{3+i\wurzel{3}}\ [/mm] =\ [mm] \bruch{(1+i)*(3-i\wurzel{3})}{(3+i\wurzel{3})*(3-i\wurzel{3})}\ [/mm] =\ [mm] \bruch{(1+i)*(3-i\wurzel{3})}{12}\ [/mm] =\ .....$
Haben wir uns richtig verstanden ?
Am Ende solltest du für sin(15°) und cos(15°) Ausdrücke
haben, die nicht aus Dezimalbrüchen bestehen, sondern
exakte Ausdrücke (mit Wurzeln) sind !
LG Al-Ch.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:03 Di 17.11.2009 | | Autor: | EdwinMoses |
Ja, ganz genau so hab ich es gemacht und die Werte die durch diese Divison rauskommen mit den Werten vom Taschenrechner verglichen und es kommt bei beidem das selber herraus :)
Danke nochmal:)
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> Ja, ganz genau so hab ich es gemacht und die Werte die
> durch diese Divison rauskommen mit den Werten vom
> Taschenrechner verglichen und es kommt bei beidem das
> selbe heraus :)
Also zum Beispiel: cos(15°) = [mm] \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} [/mm] ?
(das versteht man unter einem exakten Resultat)
LG
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:02 Do 19.11.2009 | | Autor: | EdwinMoses |
jo wir haben uns richtig verstanden. Habe die Hausaufgabe bereits in der Uni abgegeben und wir haben sie auch schon verbessert und sie war richtig. Mein Problem war, dass ich nicht so viel Ahnung von komplexen Zahlen hatte weil wir diese nicht in der Schule durchgenmommen hatten. Also danke nochmals. Ich finde dieses Forum ist eine gute Sache :)
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