Wertebereich bei Funktionen < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:58 Di 29.01.2008 | | Autor: | Yami |
Hallo, meine Frage liegt im bereich de Wertebereiches. Ich weiß nämlich bei manchen aufgaben wie ich den Wertebereich heraukriegen soll, am besten ich zeige die beiden Augaben und zeige euch wie ich das immer machen soll (vom mathe prof aus)
Aufgabe 1:
ln(x³ - [mm] \wurzel{x^{6} - 1})
[/mm]
den Definitionsbereich habe ich bereits:
Df {1, [mm] \infty}
[/mm]
Nun ermittle ich den Wertebereich so, ich schreibe das wie folg hin:
1 < x < [mm] \infty
[/mm]
jetzt baue ich die Funktion dumherum auf, also:
[mm] 1^{6} [/mm] < [mm] x^{6} [/mm] < [mm] \infty [/mm] = 1 < [mm] x^{6} [/mm] < [mm] \infty
[/mm]
1 - 1 < [mm] x^{6} [/mm] - 1 < [mm] \infty [/mm] = 0 < [mm] x^{6} [/mm] - 1< [mm] \infty
[/mm]
[mm] \wurzel{0} [/mm] < [mm] \wurzel{x^{6} - 1} [/mm] < [mm] \infty [/mm]
= 0 < [mm] \wurzel{x^{6} - 1} [/mm] < [mm] \infty
[/mm]
nun würd ja die x³ - dazu kommen aber da weiß ich nicht wie ich weiter machen soll, der prof meinte das geht weiter und es kommt ein Wf von (0,- [mm] \infty) [/mm] raus.
Ne hilfe wäre nett.
Bei der nächsten Aufgabe komme ich auch nicht weiter:
ln( ln [mm] \wurzel{x^{4} + 9} [/mm] - x²)
mein Df is {-2 , 2}
also baue ich wieder:
-2 < x < 2 sobald ich aber alles hoch 4 nehme steht da
16 < [mm] x^{4} [/mm] < 16
und komme nicht mehr weiter den Wf kenne ich nicht.
- hier hätte ich noch ne frage und zwar ist die funktion monoton steigend oder fallend, paar kollegen meinen die steigt doch ich meine sie fällt, was ist den richtig?
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Erweitere einmal [mm]\frac{x^3 - \sqrt{x^6 - 1}}{1}[/mm] mit [mm]x^3 + \sqrt{x^6 - 1}[/mm] und vereinfache. Verwende ein Logarithmusgesetz.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:24 Di 29.01.2008 | | Autor: | Yami |
ok dann bewkomme ich :
[mm] \bruch{1}{x^3 + \sqrt{x^6 - 1}}, [/mm] das einzige was ich jetzt sehe da der nenner ins unendliche geht geht der bruch gegen 0 und dadurch der ln gegen - unednlich, gut das wäre die eine schranke aus dem werte bereich doch wie baue ich das nun weiter auf? ich müßte dann x³ addieren aber wie mache ich das was setzte ich für x³ ein die 0 die da steht oder den wert 1 ? doch dann komme ich nicht auf das richtige ergebnis, das ist ja auch mein problem in der zweiten aufgabe
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[mm]f(x) = \ln \left( x^3 - \sqrt{x^6 - 1} \right) = \ln \frac{1}{x^3 + \sqrt{x^6 - 1}} = - \ln \left( x^3 + \sqrt{x^6 - 1} \right)[/mm]
Man kann zeigen, daß [mm]f[/mm] streng monoton fallend ist. Daher ist [mm]f(1)[/mm] die obere Schranke des Wertebereichs. Und die untere ist, wie du schon bemerkt hast, [mm]- \infty[/mm].
Die strenge Monotonie kann man über die Ableitung zeigen. Es geht aber auch ganz ohne sie, wenn man sich den Aufbau des Funktionsterms von [mm]f[/mm] anschaut: Das Minuszeichen vor dem [mm]\ln[/mm] nehmen wir uns später vor. Ansonsten liegt eine Verkettung vor mit [mm]t \mapsto \ln t[/mm] als äußerer und [mm]x \mapsto x^3 + \sqrt{x^6 - 1}[/mm] als innerer Funktion. Der Logarithmus ist bekanntlich streng monoton wachsend. Wenn nun die innere Funktion auch streng monoton wächst, gilt das auch für die Verkettung. Jetzt ist aber die innere Funktion die Summe zweier sehr überschaubarer Funktionen mit positiven Werten (beachte: [mm]x \geq 1[/mm]). Wie führt man die Argumentation zu Ende? Was bewirkt schließlich noch das Minuszeichen ganz am Schluß?
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 21:54 Di 29.01.2008 | | Autor: | Yami |
So dann will ich mich mal an einer antwort versuchen:
Eigentlich ist das ja meiner vorherigen argumentation gleich, es handelt sich ja um zwei funktionen innen. Einmal x³ und [mm] \wurzel{x^{6} - 1} [/mm] es handelt sich bei dem Wurzelausdruck um fast den selben wie bei x³ bloß estwas kleiner addiert ergibt es ne größere zahl mit dem ln bedeutet das es ins unedliche wächste..... doch wie hilft mir das?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:40 Do 31.01.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:09 Di 29.01.2008 | | Autor: | mat |
Das mit der ln Aufgabe hast Du doch schonmal ganz gut hinbekommen. Da kannst Du ja weitermachen mit der Multiplikation mit -1. Relationszeichen drehen und natürlich [mm] -\infty. [/mm] Dann [mm] x^{3} [/mm] addieren und dabei Def-Bereich berücksichtigen. Es steht dort dann [mm] 1>x^{3}-\wurzel{x^{6}-1}>-\infty. [/mm] Dann den ln anwenden und Du bekommst dein Ergebnis.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:14 Di 29.01.2008 | | Autor: | Yami |
Achso, dann bin ich ja recht weit gekommen, ist ja dann klar wenn ich den ln (1) nehme kommt 0 raus aber ln(- [mm] \infty) [/mm] geht doch nicht oder kann ich dann dazu ruhig - [mm] \infty [/mm] schreiben und brauch die ln schreibweise nicht zu verwenden..?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:23 Di 29.01.2008 | | Autor: | mat |
Sorry, mein Fehler. Hab den letzten und vorletzten Schritt gemischt. Es muss natürlich heissen [mm] 0
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:54 Mi 30.01.2008 | | Autor: | Yami |
So ich habe mich dann mal an einer Aufgabe rangewagt, ich wollte dann wissen ob der Lösungsweg richtig ist:
Aufgabe:
[mm] arcsin(\bruch{x}{\wurzel{x² + 1}})
[/mm]
so der Df ist ganz [mm] \IR
[/mm]
dann erstmal x aus dem Zähler, indem durch die höchste Potenz geteilt wird einmal für x < 0 und x > 0
dann haben wir:
[mm] arcsin(\bruch{1}{\wurzel{1 + \bruch{1}{x²}}})
[/mm]
und
arcsin(- [mm] \bruch{1}{\wurzel{1 + \bruch{1}{x²}}})
[/mm]
Nun weiß ich der Wf ist zwischen (- [mm] \bruch{\pi}{2}, \bruch{\pi}{2}).
[/mm]
Aber wir sollen ja immer mit Funktionsaufbauen machen also:
1.
für
0 < x < [mm] \infty
[/mm]
0² < x² < [mm] \infty² [/mm] = 0 < x < [mm] \infty
[/mm]
[mm] \bruch{1}{0} [/mm] > [mm] \bruch{1}{x²} [/mm] > [mm] \bruch{1}{\infty}, [/mm] hier musste das Relationszeichen gewechselt werden da der Kehrwert genommen wurde
Jetzt für [mm] \bruch{1}{\infty} [/mm] ist 0 und für [mm] \bruch{1}{0} \infty
[/mm]
[mm] \infty [/mm] > [mm] \bruch{1}{x²} [/mm] > 0 also wieder:
0 < [mm] \bruch{1}{x²} [/mm] < [mm] \infty
[/mm]
1 + 0 < 1 + [mm] \bruch{1}{x²} [/mm] < 1 + [mm] \infty
[/mm]
1 < 1 + [mm] \bruch{1}{x²} [/mm] < [mm] \infty
[/mm]
[mm] \wurzel{1} [/mm] < [mm] \wurzel{1 + \bruch{1}{x²}} [/mm] < [mm] \wurzel{\infty}
[/mm]
1 < [mm] \wurzel{1 + \bruch{1}{x²}} [/mm] < [mm] \infty
[/mm]
[mm] \bruch{1}{1} [/mm] > [mm] \bruch{1}{\wurzel{1 + \bruch{1}{x²}}} [/mm] > [mm] \bruch{1}{\infty}, [/mm] hier wieder der kehrwert also das relationszeichen drehen.
1 > [mm] \bruch{1}{\wurzel{1 + \bruch{1}{x²}}} [/mm] > 0
0 < [mm] \bruch{1}{\wurzel{1 + \bruch{1}{x²}}} [/mm] < 1
arcsin(0) < [mm] arcsin(\bruch{1}{\wurzel{1 + \bruch{1}{x²}}}) [/mm] < arcsin(1)
0 < [mm] arcsin(\bruch{1}{\wurzel{1 + \bruch{1}{x²}}}) [/mm] < [mm] \bruch{\pi}{2}
[/mm]
so also für (0 , [mm] \infty) [/mm] im [mm] \IR, [/mm] (0 , [mm] \bruch{\pi}{2})
[/mm]
jetzt ( - [mm] \infty [/mm] , 0) im [mm] \IR
[/mm]
- [mm] \infty [/mm] < x < 0
(- [mm] \infty)² [/mm] > x² > 0² = 0 < x² < [mm] \infty [/mm] da x negativ ist und wenn es quadriert wird da wird es positiv und das elationszeichen dreht sich, das selbe bei (- [mm] \infty), [/mm] denke ich.
[mm] \bruch{1}{0} [/mm] > [mm] \bruch{1}{x²} [/mm] > [mm] \bruch{1}{\infty}, [/mm] hier musste das Relationszeichen gewechselt werden da der Kehrwert genommen wurde
Jetzt für [mm] \bruch{1}{\infty} [/mm] ist 0 und für [mm] \bruch{1}{0} \infty
[/mm]
[mm] \infty [/mm] > [mm] \bruch{1}{x²} [/mm] > 0 also wieder:
0 < [mm] \bruch{1}{x²} [/mm] < [mm] \infty
[/mm]
1 + 0 < 1 + [mm] \bruch{1}{x²} [/mm] < 1 + [mm] \infty
[/mm]
1 < 1 + [mm] \bruch{1}{x²} [/mm] < [mm] \infty
[/mm]
[mm] \wurzel{1} [/mm] < [mm] \wurzel{1 + \bruch{1}{x²}} [/mm] < [mm] \wurzel{\infty}
[/mm]
1 < [mm] \wurzel{1 + \bruch{1}{x²}} [/mm] < [mm] \infty
[/mm]
[mm] \bruch{1}{1} [/mm] > [mm] \bruch{1}{\wurzel{1 + \bruch{1}{x²}}} [/mm] > [mm] \bruch{1}{\infty}, [/mm] hier wieder der kehrwert also das relationszeichen drehen.
1 > [mm] \bruch{1}{\wurzel{1 + \bruch{1}{x²}}} [/mm] > 0
0 < [mm] \bruch{1}{\wurzel{1 + \bruch{1}{x²}}} [/mm] < 1
da aber hier der ganze bruch negativ ist wegen der vorherign nebenrechnung muss es noch mal - 1 genommen werden
0 > - [mm] \bruch{1}{\wurzel{1 + \bruch{1}{x²}}} [/mm] > - 1
- 1 < - [mm] \bruch{1}{\wurzel{1 + \bruch{1}{x²}}} [/mm] < 0
arcsin(-1) < arcsin( - [mm] \bruch{1}{\wurzel{1 + \bruch{1}{x²}}}) [/mm] < arcsin(0)
- [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] < arcsin( - [mm] \bruch{1}{\wurzel{1 + \bruch{1}{x²}}}) [/mm] < 0
so also für (- [mm] \infty, [/mm] 0) im [mm] \IR, [/mm] (- [mm] \bruch{\pi}{2}, [/mm] 0)
(- [mm] \bruch{\pi}{2}, [/mm] 0) zusammen tun (0 , [mm] \bruch{\pi}{2})
[/mm]
also
(- [mm] \bruch{\pi}{2}, \bruch{\pi}{2})
[/mm]
das ist jetzt wohl sehr lang ich offe es ist richtig
Es wäre auch nett wenns noch einen tipp gäbe für meine vorherige aufgabe mit dem doppelten ln, da verzweifle ich auc
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:20 Mi 30.01.2008 | | Autor: | mat |
Das sieht ganz ok aus. Die Null darf aber nicht im Ergebnisintervall drin sein.
Bezüglich der ln(ln( Aufgabe:
Wenn Du an dem Punkt -2<x<2 alles hoch 4 nimmst, müsstest Du [mm] 0
Falls nochmal solche Unklarheiten auftreten, dann setze einfach irgendwelche Zahlen aus dem Df ein und schau an was passiert. So habe ich mir das immer klargemacht.
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