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Wertebereich ermitteln: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:18 Sa 05.01.2008
Autor: katerkarlo

Hallo,

kann mir jemand einen Tipp geben, wie nachweisen kann, dass

0 <= x - [mm] sqrt(x^2-1) [/mm] <=1 gilt?

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Wertebereich ermitteln: Idee
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:32 Sa 05.01.2008
Autor: Loddar

Hallo katerkarlo!


Bestimme die Umkehrfunktion dieser Funktion. Der Definitionsbereich der Umkehrfunktion ist auch gleichzeitig der gesuchte Wertebereich.


Gruß
Loddar


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Wertebereich ermitteln: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:37 Sa 05.01.2008
Autor: katerkarlo

danke loddar,

aber wie werde ich die wurzel los? so kriege ich das ja nicht nach x aufgelöst? gibts da irgendeinen trick?

Bezug
                        
Bezug
Wertebereich ermitteln: erste Schritte
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:38 Sa 05.01.2008
Autor: Loddar

Hallo katerkarlo!


$$y \ = \ [mm] x-\wurzel{x^2-1}$$ [/mm]
[mm] $$\wurzel{x^2-1} [/mm] \ = \ x-y$$
[mm] $$x^2-1 [/mm] \ = \ [mm] (x-y)^2$$ [/mm]

Gruß
Loddar


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Bezug
Wertebereich ermitteln: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:47 Sa 05.01.2008
Autor: katerkarlo

dann hätte ich:

[mm] x^2 [/mm] -1 = [mm] x^2 [/mm] - 2xy + [mm] y^2 [/mm]

-1 = - 2xy + [mm] y^2 [/mm]

x = 0,5 * (y + 1/y)

Definitionsbereich sind hier aber mind. die reellen Zahlen außer 0

was aber nicht als Wertebereich hinkommt....

Bezug
                                        
Bezug
Wertebereich ermitteln: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:19 Sa 05.01.2008
Autor: steppenhahn

Ich sehe das Problem ein wenig darin, dass die zu beweisende Gleichung nicht unbedingt stimmt.

Wähle ich zum Beispiel ein etwas größeres negatives x = -5, steht da:

0 <= -10 <= 1      f.A.

Das Problem dürfte sein, dass die Wurzel positive Werte liefert, auch wenn x negativ ist. Erst für folgende Funktion wäre es meiner Meinung nach wirklich richtig:

[mm] f(x)=\begin{cases} x - sqrt(x^{2} - 1), & \mbox{für } x >= 0 \\ x + sqrt(x^{2} - 1), & \mbox{für } x < 0 \end{cases} [/mm]


Bezug
                                                
Bezug
Wertebereich ermitteln: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:23 Sa 05.01.2008
Autor: katerkarlo

hey,

danke hatte ganz vergessen zu posten,
dass es für x>=0 gelten soll.

Mein Fehler, sorry. Glaube, jetzt weiß ich wie es gehen könnte.


Bezug
                                                        
Bezug
Wertebereich ermitteln: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:11 Sa 05.01.2008
Autor: steppenhahn

Das mit der Umkehrfunktion mag eleganter zu sein, scheint aber irgendwie nicht so richtig zum Ziel zu führen. Eine einfachere Lösung ist meiner Meinung nach:

Zu zeigen.:

a)-   0 <= x - [mm] sqrt(x^{2} [/mm] - 1),
b)-   x - [mm] sqrt(x^{2} [/mm] - 1) <= 1.

Und das scheint relativ einfach zu gehen:

a)
[mm] sqrt(x^{2} [/mm] - 1) <= x          | [mm] ()^{2} [/mm]
[mm] x^{2} [/mm] - 1 <= [mm] x^{2} [/mm]          | - [mm] x^{2} [/mm]
-1 <= 0 w.A.

...




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