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| Aufgabe | Für welche Wertepaare (a,b) besitzt das folgende Gleichungssystem keine, genau eine, mehr als eine Lösung?
(I) bx - az = 1
(II) ax + y + bz = 1
(III) x - ay = -1
(IV) by - z = -1
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Hallo,
also für obige Aufgabe fehlt mir irgendwie das Verständniss, wie ich zu einer Lösung kommen soll. Also ich habe bisher einfach (III) & (IV) nach x bzw. z aufgelöst und die Ergebnisse in (I) eingesetzt. Daraufhin steht in (I) ja
-b -a = 1
Ich habe jetzt aber leider keinen blassen Schimmer was mir das bringt, bzw. was das aussagt, geschweige denn wie ich weiter machen soll.
Vielen Dank schonmal!
Grüße
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Du löst III nach x auf: x=ay-1
...und IV nach z: z=by+1
...und setzt in I ein: b(ay-1)-a(by+1)=1 [mm] \Rightarrow [/mm] a+b=-1
Soweit richtig. Wenn ich das nun b=-(a+1) einsetze, bekomme ich:
dieses lineare Gleichungssystem
(I) (a+1)x + az = -1
(II) ax + y - (a+1)z = 1
(III) x - ay = -1
(IV) (a+1)y + z = +1
als Koeffizientenmatrix repräsentiert...
[mm] \pmat{ a+1 & 0 & a & -1 \\ a & 1 & -a-1 & 1 \\ 1 & -a & 0 & -1 \\ 0 & a+1 & 1 & 1}
[/mm]
...und nach dem Gauß-Algorithmus umgeformt:
[mm] \pmat{ a+1 & 0 & a & -1 \\ 0 & -a-1 & a^2+(a+1)^2 & -2a-1 \\ 0 & a(a+1) & a & a \\ 0 & a+1 & 1 & 1}
[/mm]
Die dritte Zeile ist nun gleich der vierten, um a erweitert. Sie entfällt daher ab hier.
[mm] \pmat{ a+1 & 0 & a & -1 \\ 0 & a+1 & -a^2-(a+1)^2 & 2a-1 \\ 0 & 0 & a^2+(a+1)^2+1 & -2a}
[/mm]
Aus der letzten Zeile findet sich eine Bedingung dafür, dass es keine Lösung gibt: [mm] a^2+a+1=0
[/mm]
Dann müsstest Du danach suchen, wann lineare Abhängigkeit eintritt. Einzelne Fälle sind leicht zu finden, z.B. wenn in der ersten Zeile der x-Koeffizient "verschwindet", a+1=0 [mm] \Rightarrow [/mm] a=-1, oder in der zweiten Zeile der y-Koeffizient, dto.: a=-1.
Dann schau nochmal genau hin...
...und stelle vor allem sicher, dass das auch alle Fälle linearer Abhängigkeit sind!
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