Werteverteilung bei n Würfeln < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 21:41 Mi 25.01.2006 | | Autor: | Schnobs |
| Aufgabe | Vorab: dies ist NICHT wichtig.
Es geht um ein Computerspiel, bei dem fließig gekämpft und der Schaden in Rollenspielmanier ausgewürfelt wird. Ich vertrete den Standpunkt, daß man sich angesichts der schieren Anzahl der beiteiligten Würfe die Mühe gleich ganz sparen könnte, weil das Endergebnis kaum mehr vom statistischen Mittel abweichen wird.
Bevor ich mich mit diesem Einwand an den Entwickler wende, möchte ich diese These untermauern können. Einfach nur auf das Gesetz der großen Zahl zu verweisen ist mir zuwenig.
Als Aufgabe ausgedrückt:
Wie wahrscheinlich ist es, daß die Summe von 100 Würfen im Bereich von 320-380 liegt? |
Es wäre mir schon viel geholfen, wenn ich die Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Ergebnisses bei einer gegebenen Anzahl von Würfeln errechnen könnte.
Jedoch besteht das einzige mir bekannte Verfahren darin, alle denkbaren Kombinationen buchstäblich "von Hand" durchzuprobieren -- aber ganz abgesehen davon, daß mir bereits bei drei Würfeln die Finger ausgehen, ist dieser Ansatz auch recht mühselig.
Anschließend die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ereignisse zu addieren ist vielleicht nicht elegant, dafür aber trivial und folglich im Rahmen des mir möglichen.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt. Und lange überlegt ob ich sie überhaupt irgendwo stellen soll, denn, wie eingangs erwähnt, ist dies eine Anfrage niederster Priorität.
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Wie ist die Augenzahl der einzelnen Würfel???
Sollen alle Würfel zeitgleich oder nacheinander geworfen werden??
Bei 6 Augenwürfeln liegt die wahrscheinlichkeit zwischen 320-380 zu kommen bei ca. 100x1/6=16,6%
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:54 Do 26.01.2006 | | Autor: | Schnobs |
> Wie ist die Augenzahl der einzelnen Würfel???
Im Rahmen der konkreten Aufgabe (die aber nur der Form halber gestellt wurde) sind "normale" d.h. sechsseitige Würfel gemeint.
Ich habe es aber mit einer Reihe gleichartiger Aufgaben zu tun, bei denen Würfel aller Art (4/6/8/12/20 Seiten) verwendet werden, aber innerhalb einer Aufgabe nur eine Sorte.
> Sollen alle Würfel zeitgleich oder nacheinander geworfen
> werden??
Ist das relevant? Am sollen die Ergebnisse von n Würfen addiert werden. Meines Wissens ist jeder Wurf ist ein neuer Versuch, der von den vorhergehenden nicht beeinflußt wird.
> Bei 6 Augenwürfeln liegt die wahrscheinlichkeit zwischen
> 320-380 zu kommen bei ca. 100x1/6=16,6%
Wie kommst du zu diesem Ansatz? Ich kann dir nicht folgen....
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Hallo Schnobs,
du kannst zunächst mal den Würf mit einem Würfel betrachten. Der Erwartungswert für die Augenzahl ist [mm] $\mu=3,5$. [/mm] Die Varianz ist [mm] $\sigma^2=2,91667$.
[/mm]
Bei hundertmaligem Werfen dieses Würfels (oder auch gleichzeitigem Werfen von hundert solchen Würfeln, das ist egal) verhundertfachen sich diese beiden Zahlen, so dass [mm] $\mu=350$ [/mm] und [mm] $\sigma^2=291,667$.
[/mm]
Mit der Ungleichung von Tschebyschow kannst du abschätzen, mit welcher Mindestwahrscheinlichkeit eine Zufallsgröße nahe an ihrem Erwartungswert liegt.
[mm] $P(|X-\mu|
Für dich bedeutet das hier $a=31$.
Die Wahrscheinlichkeit dass beim hundertmaligen Werfen eines Würfels die Augensumme um weniger als 31 (also maximal 30) vom Erwartungswert 350 abweicht beträgt mindestens
[mm] $1-\frac{291,667}{961}=0,6965$.
[/mm]
Diese Abschätzung ist aber oft sehr grob, die tatsächliche Wahrscheinlichkeit kann bedeutend größer sein. Im Gegensatz zur Abschätzung der Normalverteilung ist die Abschätzung durch die Tschebyschow-Ungleichung aber sicher richtig, die Wahrscheinlichkeit ist also hier tatsächlich immer größer als ungefähr 70%. Das bedeutet aber auch, dass im schlimmsten Fall immer noch 30% aller simulierten Würfelresultate außerhalb des von dir angegebenen Bereiches liegen. Leider weiß ich gerade nicht, wie du effektiv die exakte Wahrscheinlichkeit bestimmen kannst.
Hugo
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:10 Sa 28.01.2006 | | Autor: | Schnobs |
Puh....
vor zehn Jahren hat mir die Stochastik das Abi gerettet. Aber jetzt war es schon ein harter Brocken, deine ausführliche Antwort auch nur nachzuvollziehen.
Herzlichen Dank!
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