Weyl-Gruppe < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 14:07 Sa 02.10.2004 | | Autor: | Revilo63 |
Hallo
Kann mir jemand kurz erklären, welche Eigenschaften eine "Weyl-Gruppe" hat? Und eventuell auch in welcher Beziehung sie mit den Begriffen "Gebäude" und "Gallerie" steht?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Danke sehr!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:24 Sa 02.10.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo Revilo!
Ich fange einfach mal an, damit die Experten nicht so weit ausholen müssen.  Ich selber habe keine Ahnung davon, ich schreibe hier nur ab (aus dem Buch "Einführung in die Struktur- und Darstellungstheorie der klassischen Gruppen" von Wolfgang Hein, Springer-Verlag).
Es sei $G$ eine Gruppe und $T$ eine abelsche Untergruppe von $G$. Der Normalisator von $T$ in $G$ ist die Untergruppe
[mm] $N_G(T) [/mm] = [mm] \{A \in G\, : \, ATA^{-1} \subset T\}$.
[/mm]
$T$ ist ein Normalteiler in [mm] $N_G(T)$ [/mm] (und [mm] $N_G(T)$ [/mm] ist maximal bezüglich dieser Eigenschaft).
Die Faktorgruppe
$W(G,T):= [mm] N_G(T)/T$
[/mm]
heißt Weyl-Gruppe von $(G,T)$. Sie operiert auf $T$ durch
[mm] $\begin{array}{ccc} W(G,T) \times T & \to & T & \\[5pt] (AT,B) & \mapsto & A^{-1}BA \end{array}, \qquad \qquad [/mm] (A [mm] \in N_G(T),\, [/mm] B [mm] \in [/mm] T)$.
Dies ist deshalb sinnvoll, weil aus $AT=A'T$, d.h. [mm] $A'A^{-1} \in [/mm] T$ wegen der Kommutativität von $T$ offenbar [mm] $A^{-1}BA [/mm] = A'^{-1}BA'$ folgt.
Man kann nun zeigen:
Ist $G=U(n)$, $SU(n)$ oder $SO(n)$ und $T$ ein beliebiger maximaler Torus von $G$, so ist $W(G,T)$ endlich und hängt (bis auf Isomorphie) nicht von $T$ ab.
Mehr kann ich nicht beisteuern. Ich konnte das oben nachvollziehen, mehr nicht.
> Und eventuell auch in welcher Beziehung
> sie mit den Begriffen "Gebäude" und "Gallerie" steht?
![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]") Häh?
Ich habe diese Begriffe in einem mathematischen Zusammenhang noch nie gehört, tut mit leid. ![[sorry]](/images/smileys/sorry.gif "[sorry]")
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:47 Sa 02.10.2004 | | Autor: | Irrlicht |
Hallo Revilo,
Leider kann ich dir da auch nicht weiterhelfen. Ich weiss, dass an manchen Unis "Gebäude" und "Galerien" in höheren Algebra-Vorlesungen gemacht werden. Ich selbst kann mit den Begriffen aber (noch) nichts anfangen.
Hier habe ich wenigstens eine andere Definition der Weyl-Gruppe gefunden (ab S. 67) und einen Satz über ihre Eigenschaften:
http://www.xenia-rendtel.de/Download/Skripte/Mathe/algebra_II.pdf
Ansonsten kann ich dir raten, selbst zu googlen (die englischen Begriffe sind "building" und "gallery" - wer hätte das gedacht). Da findet sich vielleicht etwas. Und wenn das nicht hilft, dann hilft vielleicht noch
http://www.matheplanet.com
oder
die Newsgroup
news://de.sci.mathematik
Wenn dir hier noch jemand helfen kann, dann soll er es tun (mich tät es ja auch interessieren).
Liebe Grüsse,
Irrlicht
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Grüße!
Zufälligerweise spielen Gebäude eine Rolle in meiner Diplomarbeit, daher weiß ich zufällig etwas darüber - leider bislang noch etwas bruchstückhaft. Ich werde mal versuchen, allgemein zu erzählen, wie die Dinge meiner Meinung nach zusammenhängen.
Also, Weylgruppen treten z.B. bei der Untersuchung linearer algebraischer Gruppen auf, wie Stefan schon erklärt hat. Im Fall sogenannter sphärischer Gebäude sind das immer endliche Gruppen, die von Spiegelungen erzeugt sind. Man kann nachweisen, dass solche Gruppen immer sogenannte "Coxetergruppen" sind (hier spare ich mir die genaue Definition - als Buch verweise ich auf: "James E. Humphreys: Reflection Groups and Coxeter Groups", erschienen bei Cambridge University Press).
Der wesentliche Punkt ist, dass man immer ein in gewissem Sinne eindeutiges minimales System von Spiegelungen (also Elementen der Ordnung 2) findet, welche die Weylgruppe erzeugen. Ich sage in gewissem Sinne eindeutig, weil je zwei solcher Systeme zueinander konjugiert sind.
Jetzt ist es so, dass die Weylgruppe eine Menge Information über die algebraische Gruppe enthält - isomorphe Gruppen haben isomorphe Weylgruppen, also kann man sie zur Klassifikation nutzen. Die Weylgruppen selbst sind übrigens klassifizert, vgl. Bourbaki.
Und jetzt kommen die Gebäude ins Spiel. Ein Gebäude ist als Objekt ein Simplizialkomplex endlicher Dimension. Die Simplizes maximaler Dimension heißen Kammern. Jeder Coxetergruppe (und damit jeder Weylgruppe) kann man einen solchen Komplex zuordnen, auf dem die Weylgruppe dann operiert. Im Falle eines Gebäudes liegen nun mehrere solcher Komplexe quasi ineinander - die heißen dann Appartements. Im Grunde besteht ein Gebäude also aus mehreren Appartements und jedes Appartement ist ein Untersystem, das zu der Weylgrupe gehört.
Damit das Ganze ein Gebäude ist, müssen verschiedene Axiome erfüllt sein, z.B. müssen je zwei Kammern in einem Appartement liegen und je zwei Appartements müssen isomorph sein und wenn sie eine Kammer gemeinsam haben, dann muß es sogar einen Isomorphismus geben, der diese punktweise fixiert.
Wie gesagt, das ist alles mehr oder weniger Halbwissen und ich hoffe stark, dass Du darin findest, was Du brauchst.
Vielleicht ein Beispiel: als algebraische Gruppe nehmen wir die [mm] $GL_n$ [/mm] über einem Körper $K$. Das Gebäude der [mm] $GL_n$ [/mm] ist die Menge der Fahnen des [mm] $K^n$, [/mm] wobei maximale Simplizes maximale Fahnen sind. Das ergibt einen Simplizialkomplex. Wenn wir eine Basis fixieren, dann erhalten wir als Unterkomplex den Komplex, der entsteht, wenn wir nur Unterräume in den Fahnen zulassen, die aus dieser Basis entstehen. Darauf wiederum operiert die Weylgruppe (im Fall der [mm] $GL_n$ [/mm] ist dies die [mm] $S_n$, [/mm] die symmetrische Gruppe) durch Permutation der Basis.
Und es ist ein Satz der linearen Algebra, dass gegeben zwei maximale Fahnen (= Kammern) es eine Basis gibt, so dass jeder Untervektorraum in beiden Fahnen sich in der Basis schreiben läßt (d.h. beide Kammern liegen in dem Appartement).
Zum letzten Begriff: eine Galerie ist eine Folge von Kammern [mm] $C_0, \ldots, C_n$, [/mm] wobei gilt, dass [mm] $C_i$ [/mm] und [mm] $C_{i+1}$ [/mm] sich in einem Simplex der Codimension 1 schneiden, also gewissermaßen benachbart sind. Stell Dir Kammern als Dreiecke vor in einem Komplex, dann ist eine Galerie eine Folge von aneinander angrenzenden Dreiecken.
Warum man dies betrachtet: auf Gruppenebene kann man eine Kammer als Fundamentalkammer fixieren - diese entspricht dem Einselement. Geht man nun in eine Nachbarkammer, so entspricht das der Multiplikation mit einem Erzeuger aus dem oben genannten minimalen System. Eine Galerie ist also ein Wort in den Erzeugern und liefert einem ein Gruppenelement, repräsentiert durch die "Zielkammer". Das Problem, eine minimale Galerie zu finden bedeutet also, ein gegebenes Gruppenelement möglichst reduziert in den Erzeugern zu schreiben - und das hängt wiederum mit der Wortmetrik zusammen, die man auf solchen Gruppen hat.
Hm, bei nochmaligem Lesen stelle ich fest, dass das Ganze wirrer ist, als ich es wollte. Nun ja, ich hoffe es hilft trotzdem ein wenig - ich weiß ja auch gar nicht, auf welchem Kenntnisstand Du Dich befindest.
Also, wenn etwas unklar sein sollte, frag nochmal nach - aber sicher bin ich auf dem Gebiet auch noch nicht...
EDIT: Es gibt noch ein empfehlenswertes Buch zu der Thematik: "Ken Brown: Buildings". Nach diesem Buch sind wir in unserem Seminar über Tits-Gebäude vorgegangen - das sollte Dir am ehesten weiterhelfen. Viel Erfolg!
Lars
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