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Widerspruchsbeweis Stetigkeit?: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:03 So 28.09.2014
Autor: bquadrat

Aufgabe
Die Frunktion [mm] f:[0,1]\to\IR [/mm] sei stetig und es sei f(0)=f(1)=:a
Behauptung: [mm] \exists{c}\in[0,\bruch{1}{2}]:f(c)=f(c+\bruch{1}{2}) [/mm]

Meine Vermutung liegt darin, dass ich annehme, dass es ein derartiges c nicht gibt und dies dann irgendwie widerlege, indem ich zeige, dass dann die Funktion nicht stetig ist oder dass die Aussage f(0)=f(1) dann nicht stimmen kann. Aber ich weiß nicht, wie ich das zum Widerspruch führen könnte... Kann mir da eventuell mal jemand weiterhelfen?

Dank im Voraus

[mm] b^{2} [/mm]

        
Bezug
Widerspruchsbeweis Stetigkeit?: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:20 So 28.09.2014
Autor: steppenhahn

Hallo bquadrat,

> Die Frunktion [mm]f:[0,1]\to\IR[/mm] sei stetig und es sei
> f(0)=f(1)=:a
>  Behauptung:
> [mm]\exists{c}\in[0,\bruch{1}{2}]:f(c)=f(c+\bruch{1}{2})[/mm]


>  Meine Vermutung liegt darin, dass ich annehme, dass es ein
> derartiges c nicht gibt und dies dann irgendwie widerlege,
> indem ich zeige, dass dann die Funktion nicht stetig ist
> oder dass die Aussage f(0)=f(1) dann nicht stimmen kann.

Ein Widerspruchsbeweis ist hier nicht nötig (natürlich kannst du aus dem normalen Beweis, den ich dir gleich vorschlage, auch einen Widerspruchsbeweis machen, aber das ist ein Umweg).

Verwende den Zwischenwertsatz für stetige Funktionen und wende ihn auf

[mm] $g:[0,\frac{1}{2}] \to \IR, [/mm] g(x) := f(x) - f(x + [mm] \frac{1}{2})$ [/mm]

an. Überlege dazu:

1) Welche Gleichheit g(c) = ... musst du erhalten, damit die Aussage aus der Aufgabenstellung erreicht wird?
2) Welche Werte musst du in g(x) einsetzen, um die Voraussetzung f(0) = f(1) nutzen zu können und den Zwischenwertsatz anwenden zu können, um g(c) = ...  zu erhalten?

Viele Grüße,
Stefan

Bezug
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