Wie Begründe ich es richtig? < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo. bin zum ersten mal im diesem forum, und würde mich daher sehr freuen, wenn ich eine antwort auf meine frage bekommen würde. Habe vorhin schon hier fragen zu AGLA gestellt und die wurden nett beantwortet.
Die Aufgabe ist wie folgt, es geht dabei um Kompaktheit:
Entscheiden Sie, welche der folgenden Mengen kompakt sind:
a) Intervall [0, 1] geschnitten Q (rationale Zahlen).
b) (die folge 1/n mit n element der natürlichen Z.) Verknüpft mit der menge (0)
c) Intervall [0, 2] \ {1}.
d) Die Menge aller x Element von [0, 1], deren Dezimaldarstellung nur die Ziffern 0, 4
und 7 enthält.
Also ich habe schon paar Gedanken, weiß aber nicht ob die ausreichen, denn unser Prof. meinte, die müssen gut begründet werden.
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt: http://matheplanet.com/default3.html?call=viewforum.php?forum=-2&ref=http%3A%2F%2Fwww.google.de%2Fsearch%3Fq%3Dmathe%2Bforum%26sourceid%3Dnavclient-ff%26ie%3DUTF-8%26rlz%3D1B2GGFB_deDE228DE228
jedoch hats nicht so viel gebracht.
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Hallo jaruleking,
ich bin auch ganz neu in diesem Forum (meine erste Antwort!) und all das ist 'ne ganze Weile her... Aber ich will's mal versuchen.
Kompakt heisst abgeschlossen und beschränkt. Abgeschlossen ist gleichbedeutend mit Komplement offen. Offen heisst, jeder Punkt der Menge ist in einer Menge enthalten, die Teilmenge der offenen Menge ist.
a) kann somit nicht kompakt sein, da das Komplement nicht offen ist (jede Umgebung eines beliebigen Punktes enthält auch rationale Zahlen)
b) Ist kompakt, da beschr. und Komplement offen (jeder Punkt enthält auch eine Umgebung).
c) Ist nicht kompakt, da die 1 keine Umgebung hat die ebenfalls im Komplement liegt.
d) Ist mir im Moment zu kompliziert...
Hoffe das stimmt soweit...
Viele Grüße, Andreas
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Hi andreas.
also a. verstehe ich jetz.
zu b) hatte ich mir auch schon gedacht, dass es kompakt ist. da ja die folge nach unten beschränkt ist. und da es mit null verknüpft ist, ist es auch abgeschlossen, richtig begründet??
aber was ist das komplement dieser menge, kannst du mir vielleicht das nochmal bitte sagen.
und deine begründung zu c, versteh ich leider auch nicht so richtig. ich dachte mir, man könnte ja das intervall einteilen in zwei intervall, und zwar so: [o,1)&(1,2] ja und dieses intervall ist ja nicht abgeschlossen.
meinste das ist so richtig?
danke schonmal
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Hallo nochmal,
das Komplement bei b) sind alle anderen Zahlen. Und egal welche Zahl wir davon herausgreifen, immer können wir eine Umgabung dieser Zahl angeben, die auch noch komplett im Komplement liegt. Egal wie nah die gewählte Zahlbei 0 liegt, immer finden wir doch problemlos auch noch eine kleine Umgebung, die kein 1/n (und auch nicht die 0) enthält.
Die Einteilung bei c) ist richtig.
Meine Begründung war ganz einfach: Betrachte die 1 (ein Element aus dem Komplement). Und jede Umgebung dieses Elements enthält doch auch Elemente der Ausgangsmenge. Also Komplement nicht offen, also Ausgangsmenge nicht abgeschl, also nicht kompakt.
Hoffe es ist jetzt klargeworden.
Gruss
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:45 Sa 24.11.2007 | | Autor: | jaruleking |
ok, jetzt habe ich es verstanden.
danke für deine bemühungen. die d werde ich dann versuchen mal morgen zu lösen.
schönen abend noch.
bye
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