Wie berechne ich das Integral < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:34 Do 16.09.2004 | | Autor: | Ute |
[mm] \integral_{0}^{5} 3x^3\, [/mm] dx ?
Vielleicht haltet ihr mich bei dieser Frage für total verblödet, aber mein Mathelehrer kann mir nicht erklären, wie ich Integrale berechne. Ich verstehe es einfach nicht, wie ich vorgehen muss.
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Hallo Ute!!
Das ist gewiss keine Schande!!Also du musst eine Funktion integrieren!!
Wenn du die Funktion 3x³ zeichnest erhältst du eine Kurve(Graphen) so wie du es gewöhnt bist.
Die zwei Zahlen 0 und 5 sollen eine Art Grenze sein!!Das heißt du musst auf der x-achse deines Koordinatensystemes die Stellen 0 und 5 suchen!!So wenn du die gezeichnete Kurve von 0 bis 5 integrierst, so berechnest du die Fläche der Kurve zwischen 0 und 5!!Alles klar??Die herleitung wieso du die Fläche berechnest weiß ich auch nicht auswendig, aber das brauchst du ja nicht!!
Also: Nun zu deiner Aufgabe
[mm]\integral_{0}^{5} 3*x³\, dx[/mm]=
[mm](3*x^4/4)[/mm] in den Grenzen von 0 is 5
so jetzt must du die Grenzen einsetzten!! F=Ergebnis der Integration
F(5)-F(0)= 468,74-0=468,75!!!
Alles klar? Grüße daniel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:35 Do 16.09.2004 | | Autor: | Ute |
Okay, ich verstehe wie du auf die 468,75 kommst.
Aber wie auf die 3* [mm] x^4 [/mm] /4 (also die Rechenformel)?
Und x ist ja einfach die Integralgrenze, oder? Wir in der Schule nennen das nämlich b. Aber das ist ja im Prinzip egal, oder?
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Danke Ute!!
Stimmt,die Grenzen kannst du bezeichnen wie du willst!!
Alslo wen die funktion heißt:
f(x)= 3*x³
1.) Die Hochzahl wird um 1 erhöht => [mm] x^4
[/mm]
2.) Die Zahl 3 kannst du lassen,da sie konstant ist!!!
3.) wenn du die Hochzahl um 1 erhöht hast musst du die [mm] Variable(x^4)durch [/mm] die erhöhte Hochzahl dividieren!!
=> [mm] 3*x^4/4
[/mm]
z.B f(x)= [mm] 10*x^6
[/mm]
Dann ist das Integral von f(x)= [mm] 10*x^7/7
[/mm]
alles klar?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:30 Sa 18.09.2004 | | Autor: | Ute |
dankeschön, du hast mir sehr geholfen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:29 Do 16.09.2004 | | Autor: | Stefan |
Liebe Ute!
Vielleicht ist dir ja nicht klar, warum $F(x)= [mm] \frac{3}{4}x^4$ [/mm] eine Stammfunktion von [mm] $f(x)=3x^3$ [/mm] ist.
Wir haben also die Funktion [mm] $f(x)=3x^3$ [/mm] und suchen eine Funktion $F(x)$, so dass $F'(x)=f(x)$ ist.
Wie macht man das?
Du weißt ja, wie man Potenzfunktionen ableitet?
[mm] $F(x)=x^n \quad \Rightarrow \quad [/mm] F'(x)=n [mm] x^{n-1}$.
[/mm]
Die Potenz erniedrigt sich also um eins und kommt als Vorfaktor davor.
Wenn wir nun eine Stammfunktion von [mm] $f(x)=3x^3$ [/mm] suchen, müssen wir daher auf jeden Fall die Potenz um eins erhöhen, also muss da irgendwas mit [mm] $x^4$ [/mm] stehen. Das ist klar. Mit der $3$ als Vorfaktor passiert beim Ableiten nichts. Daher steht da vielleicht was mit [mm] $3x^4$. [/mm] Aber ist das schon die Stammfunktion? Nein.
Man muss ja darauf achten, dass ja beim Ableiten eine $4$ als Vorfaktor dazukommt. Diese stört. Daher schreiben wir sie in den Nenner, so dass sich die neu hinzukommende $4$ mit der $4$ im Nenner gerade wegkürzt.
Bilden wir also einfach mal
$F(x) = [mm] \frac{3}{4}x^4$
[/mm]
und schauen, ob dies eine Stammfunktion von
[mm] $f(x)=3x^3$
[/mm]
ist.
Und, in der Tat gilt:
$F'(x) = [mm] \frac{3}{4} \cdot [/mm] 4 [mm] \cdot x^3 [/mm] = [mm] 3x^3 [/mm] = f(x)$.
Allgemeiner kann man sich so überlegen:
Eine Stammfunktion von [mm] $f(x)=ax^n$ [/mm] ist durch $F(x) = [mm] \frac{a}{n+1}x^{n+1}$ [/mm] gegeben.
Jetzt klarer?
Liebe Grüße
Stefan
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