Wie geht diese Substitution? < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:46 Fr 15.01.2010 | | Autor: | Alpi |
| Aufgabe | Mittels Substitution berechne man das unbestimmte Integral
[mm] \integral_{}^{} e^{2x} (1-2e^{2x})^3\, [/mm] dx |
Ich hätte gerne eine Einführung in die Substitution. Die partielle Integration habe ich mittlerweile Verstanden. Nun fange ich an die Substitution zu lernen.
Ich habe ein Problem mit den Ansatz generell bei Substitutionen und verstehe noch nicht ganz, wie die Substitution überhaupt ablaufen will.
Ich will hier aber am Anfang keine Lösung der Aufgabe sehen, sondern mehr so eine Art Einführung!
Habe schon in Mathebüchern und im Internet nachgelesen, bin aber mit der allgemeinen Darstellung nicht weitergekommen. Wäre toll wenn mir einer, dass in einfachen Sätzen darstellen könnte.
Ich danke euch für eure Antworten.
Mfg Alpi
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:32 Fr 15.01.2010 | | Autor: | gfm |
Vorweg: Es gibt keine Standardlösung zum Finden der richtigen Substitution. Das ist Probieren, Intuition, Fleiß, Glück haben, usw.
Das Prinzip ist einfach:
Stell den Integranden als Ableitung einer bekannten Funktiondar, weil eine Ableitung ganz einfach zu integrieren ist. Das ist nämlich die bekannte Funktion selber. Das ist schon (fast) alles.
[mm] \integral [/mm] f(x) dx [mm] \underbrace{=}_{Substitution} \integral [/mm] g'(x) dx = g(x) + C
Der Schritt von f(x) zu g'(x) erfolgt über ersetzten von x in f(x) durch eine geeignete Funktion h(x) und das ersetzen von dx durch h'(x)dx:
[mm] \integral [/mm] f(x) dx = [mm] \integral [/mm] f(h((x)) h'(x) dx
in der Hoffnung, dass f(h((x)) h'(x) durch Umformen ein g'(x) einer Dir bekannten Funktion g(x) ist.
Das geht auch in die andere Richtung:
Du sollst wieder [mm] \integral [/mm] f(x) dx ausrechnen und sieht, dass f(x) den "Aufbau" g(h((x)) h'(x). Dann bist Du auch fertig, wenn Du eine Stammfunktion von g(x) kennst. Als Lösung erhälst Du dann G(x) + C.
Beispiele:
Erster Weg:
[mm] \integral \bruch{dx}{1+x^2} =\integral \bruch{du}{cos^{2}(u)(1+ tan(u)^2)} [/mm] = [mm] \integral [/mm] du = u + C = arctan(x)
x = tan(u), dx = [mm] \bruch{du}{cos^{2}(u)}
[/mm]
Zweiter Weg:
[mm] \integral [/mm] 2x [mm] sin(x^2) [/mm] dx = [mm] \integral (sin(x^2))'dx [/mm] = [mm] sin(x^2) [/mm] + C
Da sind die mir bekannten Grundprinzipien, fürs Substituieren der anhängigen Variablen.
Hier sind die dollsten Tricks möglich, z.B.
[mm] \integral [/mm] f(x) dx = [mm] \bruch{1}{2} \integral \bruch{(h^{2})'(x)}{f'(h(x))}dx
[/mm]
Weitere Bemerkungen sind erforderlich wenn du bestimmte Integrale ausrechnen willst, oder aber Deine Substitutionen Fallunterscheidungen erfordern (wenn sie z.B. nicht bijektiv sind).
|
|
|
|
