Wie ist der Radiant definiert? < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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ich weiß nicht in welches topic das jetzt genau gehört, also hab ich meine frage hier gepostet.
also das bogenmaß, hat die einheit radiant.
das winkelmaß, hat die einheit grad.
wenn ich einen kreis mit der radiuslänge 1m habe,so umschließt der winkel von 1rad auf dem umfang eines kreises einen bogen der länge 1m.
somit ist [mm] 2\pi=360°
[/mm]
[mm] 1rad=\bruch{m}{m}
[/mm]
ich schätze das heißt
[mm] 1rad=\bruch{radiuslänge-in-m}{bogenlänge-in-m} [/mm] oder?
was wäre aber wenn ich jetzt einen kreis mit dem radius 2,3 m oder 4,7m oder irgendeinen anderen radius hätte, wie würde ich dann beispielsweise die bogenlänge in abhäniggkeit des winkels herausbekommen.
ich habe nämlich eine aufgabe gerechnet. da war eine schiffswelle gegeben mit dem wellendurchmesse 500mm mit einer konstanten drehzahl von [mm] n=100min^{-1}
[/mm]
und ich soll den weg den ein oberflächenpunkt in einer minute zurücklegt bestimmen.
die geschwindigkeit hab ich gegeben.
klar könnte ich jetzt rechnen x=v*t
aber man müsste das doch auch herausbekommen indem man die bogenlänge berechnet, da ich ja weiß was für ein winkel in einer minuten zurückgelegt wird, nur ist hier das problem das der radius ja nicht 1m beträgt.
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> also das bogenmaß, hat die einheit radiant.
Man kann das Bogenmaß auch als eine "einheitslose"
oder "dimensionslose" Grösse betrachten, denn der
Quotient [mm] \bruch{Bogenlaenge}{Radius} [/mm] von zwei Längen ergibt einfach
eine Zahl [mm] \in \IR [/mm] .
> das winkelmaß , hat die einheit grad.
(Gradmaß (degrees), auf dem Rechner "DEG" ....
"GRD" (grades) wäre nochmal was anderes !)
> wenn ich einen kreis mit der radiuslänge 1m habe,so
> umschließt der winkel von 1rad auf dem umfang eines kreises
> einen bogen der länge 1m.
>
> somit ist [mm]2\pi=360°[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
dies kann man auch so ausdrücken: 1° = [mm] \bruch{2\pi}{360}= \bruch{\pi}{180}
[/mm]
>
> [mm]1rad=\bruch{m}{m}[/mm]
hier meinst du wohl [mm]1\ rad=\bruch{1\ Meter}{1\ Meter}[/mm]
und dies ergäbe ja einfach den Quotienten 1,
d.h. 1 rad = 1 (eben: dimensionslos !)
> ich schätze das heißt
>
> [mm]1rad=\bruch{radiuslänge-in-m}{bogenlänge-in-m}[/mm] oder? ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
nein, gerade anders rum:
[mm]1\ rad=\bruch{Bogenlaenge-in-m}{Radiuslaenge-in-m}[/mm]
dies stimmt zwar nur für den Fall, dass die Bogenlänge gleich
dem Radius ist, also für den speziellen Winkel 1 rad = 1 = [mm] \bruch{180°}{\pi}\approx [/mm] 57.3°
Allgemein gilt:
Winkel (in rad) [mm] =\bruch{Bogenlaenge}{Radiuslaenge}
[/mm]
> was wäre aber wenn ich jetzt einen kreis mit irgendeinem
> anderen radius hätte, wie würde ich dann beispielsweise die
> bogenlänge in abhängigkeit des winkels herausbekommen.
Bogenlänge = Radius*Winkel
Falls der Winkel schon im Bogenmass gegeben ist, geht es einfach so.
Hast du aber z.B. den Radius 12 cm und den Winkel [mm] \alpha=35°, [/mm] so
kannst du rechnen:
Bogenlänge = Radius*Winkel=12 cm [m]\*\ 35° = 12 cm *35*1°[/m]
[m]=12\ cm*35*\bruch{\pi}{180}=\bruch{12*35*\pi}{180}[/m] cm [m]=\bruch{7*\pi}{3}\ cm\approx 7.33[/m] cm
LG
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