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Wie wende ich die Normalver.an: Aufgabe1
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:37 Mi 28.06.2006
Autor: KlausFreitz

Aufgabe
Eine gezinkte Münze zeigt in 70% aller Fälle Kopf. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß bei 50 Würfen mehr als 35 mal Kopf erscheint?

Hm,

ich weiß gar nicht wie ich anfange soll. Habe im Moment das:

70% Kopf.

x1 kann 1 sein (Kopf) oder 0 (Zahl)

Und P(x1)=0.7

Wie mache ich nun weiter? Ist das richtig das es normalverteilt ist? Vielen Dank

        
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Wie wende ich die Normalver.an: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:49 Mi 28.06.2006
Autor: Walde

Hi Klaus,

was du hast ist schonmal gut. Nur ist [mm] X_1 [/mm] nicht normal-, sondern []bernoulliverteilt.

Jetzt musst du nur noch folgende Überlegung machen:

Du hast nicht nur eine Zufallsvariable, sondern 50. Und die summierst du alle zu einer neuen auf. Also [mm] Y:=X_1+X_2+\cdots+X_{50} [/mm]

Dann ist Y die Anzahl der Münzwürfe mit Kopf. Y ist []binomialverteilt mit parametern n=50 und p=0,7

Gesucht ist dann [mm] P(Y\ge [/mm] 35). Formel um das auszurechnen steht im Link. Normalerweise kuckt man es in einer Tabelle nach. Man kann Y auch als nährungsweise normalverteilt ansehen (mit Parametern [mm] \mu=n*p=35 [/mm] und [mm] \sigma^2=n*p*(1-p)=10,5) [/mm] um leichter zu rechnen. (steht alles im Link)

L G walde

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Wie wende ich die Normalver.an: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:56 Mi 28.06.2006
Autor: KlausFreitz

Vielen Dank für die schnelle Antwort,

werde mich nun reinarbeiten!!!

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Wie wende ich die Normalver.an: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:19 Mi 28.06.2006
Autor: KlausFreitz

Hallo Walde,

habe doch nochmal eine Frage. Wieso ist meine Aufgabe am Anfang Bernoulliverteilt, dann ist Y binomialverteitl, und am ende könnte ich es noch mit der normalverteilung ausrechnen?! Wieso das alles?

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Wie wende ich die Normalver.an: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:41 Mi 28.06.2006
Autor: Walde

Hi Klaus,

na, dann empfehle ich die Links noch genauer durchzusehen, da ist alles genau erklärt.

Es ist so:
Wenn deine Zufallsvariable nur 2 Werte annehmen kann, 0 oder 1, Ja oder Nein, schwarz oder rot, dann ist das eine Bernoulli-Verteilung. Das ist ein Spezialfall der Binomialverteilung. Nämlich die Binomialverteilung mit n=1.

Wenn du n Zufallsv., die alle Bernoulliverteilt sind (mit demselben Parameter p) aufaddierst und sie unabhängig voneinander sind, nennt man das (wie gesagt) Binomialverteilung, mit Parameter n und p .

Da ist man eigentlich fertig. Es ist aber so, dass man wenn man viele Zufallsvariable (grosses n) aufaddiert, sie sich ähnlich wie eine normalverteilte Zufallsvariable verhalten. Die Normalvert. ist eigentlich was ganz anders, sie ist stetig während die Binomialvert. diskret ist. Dennoch stimmen die Wahrscheinlichkeiten bei grossem n fast mit der der Normalverteilung überein. Deshalb gilt alt Faustregel, falls n*p*(1-p)>9 ist, darf man zum ausrechnen auch die Normalveteilung benutzten, auch wenn man es eigentlich mit der Binomialverteilung rechnen müsste. Der Vorteil ist, dass man nicht für alle n (z.B. wenn n=741) eine eigene Tabelle vorliegen haben muss, sondern alles auf die Standardnormalverteilung transformieren kann und dan kuckt man es dann in einer einzigen Tabelle nach. Die Rechnung sagen wir für n=1000 wäre, wenn man es exakt mit der Binomialvert. rechnet äusserst aufwendig und mit der Normalverteilung ganz schnell nachgekuckt und die Ergebnisse stimmen ziemlich überein.

L  G walde

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Wie wende ich die Normalver.an: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:47 Mi 28.06.2006
Autor: KlausFreitz

Vielen lieben Dank für die sehr ausführliche und schnelle Antwort! Jetzt leuchtet es ein!!!

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Wie wende ich die Normalver.an: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:18 Mi 28.06.2006
Autor: KlausFreitz

Hi,

habe bis jetzt mal so durchgerechnet. Komme aber nicht aufs Ergebnis. Das Ergebnis sollte sein: 44,68%

Hier mal mein Rechenweg:

http://www.fh-frankfurt.de/~fb2sw/problem.jpg

Was mache ich falsch ???? Danke

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Wie wende ich die Normalver.an: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:05 Mi 28.06.2006
Autor: Walde

Hi Klaus,

äh, du hast doch 1-0,5596 raus, das sind doch 0,4404%, also stimmt die Nährung mit der Normalvert. doch ganz gut. Bei der Binomialsache habe ich natürlich auch nicht von Hand gerechnet, da hast du nur beim ersten Summanden [mm] 0.3^{14}, [/mm] obwohl es [mm] 0.3^{15} [/mm] heissen muss.

Also?

L G walde

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Wie wende ich die Normalver.an: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:15 Mi 28.06.2006
Autor: KlausFreitz

OK, also bekomme ich 0,44... heraus.. Aber das muss ich ja dann mit 100 multiplizieren, damit ich auf die 44 Prozent komme, oder? Und: Warum muss ich das dann nochmal mit 100 multiplizieren?

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Wie wende ich die Normalver.an: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:18 Mi 28.06.2006
Autor: Walde

Hi Klaus,

naja,
0,44 sind halt
[mm] \bruch{44}{100} [/mm]
44 pro Hundertstel
44 pro cento, lateinisch: auf das Hundertste bezogen
44 Prozent eben...

Genau wie
1,2 Promille
1,2 pro mille lateinisch:auf das Tausendste bezogen
[mm] \bruch{1,2}{1000} [/mm]
0,0012

Da ist keine höhere Mathematik dabei ;-)

Unter Mathematikern sagt man auch einfach " Die Wahrscheinlichkeit beträgt Nullkommaviervier". Im normalen Sprachgebrauch würde man halt"Sie beträgt Vierundvierzig Prozent" sagen. Das ist alles das Gleiche.

l G walde


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