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Wie wurde umgeformt: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:29 Sa 04.01.2014
Autor: pc_doctor

Aufgabe
[mm] 2^{n} [/mm] > [mm] n^{2} [/mm] mit [mm] n\ge [/mm] 5
Induktion

Hallo,

ich habe eine Frage zum IS , da ich eine Umformung nicht nachvollziehen kann

Induktionsanfang : n=5 : [mm] 2^{5} [/mm] = 32 > 25 = [mm] 5^{2} [/mm]

Induktioktionsschritt:
n-> n+1

[mm] 2^{n+1} [/mm] = [mm] 2*2^{n} [/mm] > [mm] 2*n^{2} [/mm] = [mm] n^{2} +n^{2} [/mm] > [mm] n^{2}+3n [/mm] > [mm] n^{2} [/mm] +2n +1 = [mm] (n+1)^{2} [/mm]

Ich verstehe das nicht:

[mm] n^{2} +n^{2} [/mm] > [mm] n^{2}+3n [/mm] > [mm] n^{2} [/mm] +2n +1

[mm] n^{2} +n^{2} [/mm] verstehe ich noch , aber wie kommen die auf +3n ?
Danke im Voraus.

        
Bezug
Wie wurde umgeformt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:35 Sa 04.01.2014
Autor: angela.h.b.


> [mm]2^{n}[/mm] > [mm]n^{2}[/mm] mit [mm]n\ge[/mm] 5
>  Induktion
>  Hallo,
>  
> ich habe eine Frage zum IS , da ich eine Umformung nicht
> nachvollziehen kann
>  
> Induktionsanfang : n=5 : [mm]2^{5}[/mm] = 32 > 25 = [mm]5^{2}[/mm]
>  
> Induktioktionsschritt:
>  n-> n+1

>  
> [mm]2^{n+1}[/mm] = [mm]2*2^{n}[/mm] > [mm]2*n^{2}[/mm] = [mm]n^{2} +n^{2}[/mm] > [mm]n^{2}+3n[/mm] >
> [mm]n^{2}[/mm] +2n +1 = [mm](n+1)^{2}[/mm]
>  
> Ich verstehe das nicht:
>  
> [mm]n^{2} +n^{2}[/mm] > [mm]n^{2}+3n[/mm] > [mm]n^{2}[/mm] +2n +1
>
> [mm]n^{2} +n^{2}[/mm] verstehe ich noch , aber wie kommen die auf
> +3n ?

Hallo,

na, es ist doch [mm] n\ge [/mm] 5.
Also ist [mm] n^2=n*n\ge [/mm] 5*n, und 5*n ist größer als 3*n.

Wir haben also

[mm] n^2+n^2>n^2+3n=n^2+2n+n\ge n^2+2n+5>n^2+2n+1 [/mm]

LG Angela

> Danke im Voraus.


Bezug
                
Bezug
Wie wurde umgeformt: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:57 Sa 04.01.2014
Autor: pc_doctor

Hallo,

aber wieso denn größer als 3n , wieso unbedingt 3n ?

Bezug
                        
Bezug
Wie wurde umgeformt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:00 Sa 04.01.2014
Autor: reverend

Hallo pc-doctor,

> aber wieso denn größer als 3n , wieso unbedingt 3n ?

Weil das eine geschickte Abschätzung ist, die einem den Induktionsschritt erleichtert. Natürlich hätte man auch [mm] >\wurzel{21}n [/mm] nehmen können, sich dann aber danach einen Wolf gerechnet.

Grüße
reverend


Bezug
                                
Bezug
Wie wurde umgeformt: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:02 Sa 04.01.2014
Autor: pc_doctor

Also könnte ich auch 4n , 5n oder 6n nehmen ja ?

Bezug
                                        
Bezug
Wie wurde umgeformt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:21 Sa 04.01.2014
Autor: DieAcht


> Also könnte ich auch 4n , 5n oder 6n nehmen ja ?  

Wie funktioniert der Induktionsschritt?

Ziel: Zeigen der Aussage für [mm] $n\to [/mm] n+1$

Dabei setzt du deine IV ein und fasst zusammen.
Dann gelangst du an den Punkt, an dem du dich fragst:

      Wo will ich hier eigentlich hin?

Deshalb schreibt man auch gerne direkt hin was gezeigt werden soll.

In deinem Beispiel kommst du, nachdem du die IV eingesetzt hast, bei [mm] 2n^2 [/mm] an.

Jetzt kommt:

      Wo will ich hier eigentlich hin?

Antwort:

      Ich will zu [mm] $(n+1)^2$, [/mm] also fängst du hinten an, also:

      [mm] n^2+2n+1=(n+1)^2 [/mm]


Es muss also irgendwie gelten:

      [mm] 2n^2>\ldots>n^2+2n+1 [/mm]

Die Punkte musst du nun ausfüllen.
Das ist wie bei der [mm] \epsilon-Konvergenz. [/mm]
Du machst dir vorher Gedanken und schreibst den Beweis hin und alle denken, das es Magie ist ;-)

Wieso gilt nun [mm] 2n^2>n^2+2n+1? [/mm]

      [mm] 2n^2=n^2+n^2>n^2+1000n>n^2+999n>\ldots>n^2+3n [/mm]

Wieso $3n$? Weil wir zu $2n+1$ wollen. Damit ist es nur deutlicher und schöner!

      [mm] >n^2+2n+1=(n+1)^2 [/mm]


DieAcht

Bezug
                                                
Bezug
Wie wurde umgeformt: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:28 Sa 04.01.2014
Autor: pc_doctor

Das heißt also , ich muss nicht immer von links nach rechts gehen ? Wenn ich auf [mm] (n+1)^{2} [/mm] kommen will , kann ich das erstmal umformen und auch so von rechts nach links gehen , oder ?

Bezug
                                                        
Bezug
Wie wurde umgeformt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:35 Sa 04.01.2014
Autor: DieAcht


> Das heißt also , ich muss nicht immer von links nach
> rechts gehen ? Wenn ich auf [mm](n+1)^{2}[/mm] kommen will , kann
> ich das erstmal umformen und auch so von rechts nach links
> gehen , oder ?

[ok]

Du musst nicht immer von links nach rechts beweisen.
Du kannst es auch umdrehen. Ob es einfacher wird ist aber nicht gesichert!


DieAcht

Bezug
                                                                
Bezug
Wie wurde umgeformt: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:38 Sa 04.01.2014
Autor: pc_doctor

Oh jetzt , wird mir einiges klarer. Alles klar vielen vielen Dank für die ganzen Antworten.

Bezug
                        
Bezug
Wie wurde umgeformt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:04 Sa 04.01.2014
Autor: angela.h.b.


> Hallo,
>  
> aber wieso denn größer als 3n , wieso unbedingt 3n ?

Hallo,

weil's
1. nicht falsch ist
und
2. funktioniert.

LG Angela



Bezug
                                
Bezug
Wie wurde umgeformt: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:05 Sa 04.01.2014
Autor: pc_doctor

Echt krass , hätte ich nicht gedacht , dass man das so mit Abschätzung und so macht. Noch was dazu gelernt. Danke !

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Analysis-Induktion"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


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