Wieder Induktion < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | Beweisen Sie [mm] \vektor{n \\ k} [/mm] = [mm] \summe_{m=k-1}^{n-1} \vektor{m \\ k-1} [/mm] für 1 [mm] \le [/mm] k [mm] \le [/mm] n mit Induktion über d:= n-k |
Hallo,
was soll ich hier mit dem d machen , wo ist das einzusetzen oder wo ist das zu benutzen ? Und kann ich dieses Summenzeichen irgendwie so umschreiben, dass das nicht mehr da ist , ich mag das nicht so..
Vielen Dank im Voraus.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:05 Mi 11.12.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
qas steht denn da für d=0?
dann ersetze k durch d und n
besser du gewöhnt dich an summenzeichen, für den angang immer die 2 erst und die 2 letzten Summanden hinschreiben, dazwischen Pünktchen.
gruß leduart
|
|
|
| |
|
Hallo,
danke für die Antwort.
Für d = 0 , habe ich [mm] \vektor{n \\ k } [/mm] = 1
Das ist mein Induktionsanker.
Im IS sage ich dann :
Angenommen , die Formel gilt für alle d [mm] \ge [/mm] 0
Zu zeigen ist :
Gilt auch für d+1
Wie schreibe ich das jetzt in Bezug auf Sigma auf ?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:28 Mi 11.12.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
wie ich es vorgeschlafen habe, wie hast du denn die summe für d=0 ausgerechnet. machs vielleicht noch für d01 und 2 damit du besser reinkommst.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
Das hatte ich bei einer anderen Aufgabe gelesen , da war d = n-z und dort haben die auch für d=0 eingesetzt und es kam 1 raus ( beim Bino.koeff.)
Aber wieso [mm] \vektor{n \\ k } [/mm] = 1 für d = 0 ist(d:=n-k) , weiß ich nicht.
Wieso ist das so ?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:31 Mi 11.12.2013 | | Autor: | DieAcht |
[mm] d:=n-k=0\Rightarrow [/mm] n=k
Setze n:=k, dann gilt: [mm] \vektor{n \\ n}=1
[/mm]
DieAcht
|
|
|
| |
|
Hallo DieAcht,
danke dafür.
Wenn ich dann d+1 mache , habe ich n-k+1
Was ich immer noch nicht kapiere , wie setze ich das hier $ [mm] \vektor{n \\ k} [/mm] $ = $ [mm] \summe_{m=k-1}^{n-1} \vektor{m \\ k-1} [/mm] $ ein ?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:56 Mi 11.12.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
was hast du den aus- oder rumprobiert?
mal die Summe und den ersten Teil fpr d=1 nd 2 hingeschrieben?
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
Hallo,
also wir haben ja :
$ [mm] \vektor{n \\ k} [/mm] $ = $ [mm] \summe_{m=k-1}^{n-1} \vektor{m \\ k-1} [/mm] $
Wenn ich jetzt für d = 0 einsetze , als Anker kommt auf beiden Seiten 1 raus. Okay , stimmt.
IS:
Jetzt soll ich ja zeigen, dass es für d+1 gilt.
d war : d:= n-k
d+1 = n-k+1
Wie mache ich jetzt weiter im IS ?
|
|
|
| |
|
Hallo,
>
> also wir haben ja :
>
> [mm]\vektor{n \\ k}[/mm] = [mm]\summe_{m=k-1}^{n-1} \vektor{m \\ k-1}[/mm]
Nein. Wir haben das nicht.
Sondern: wir haben das zu zeigen.
Und zwar für 1 $ [mm] \le [/mm] k [mm] \le [/mm] $ n.
Das ganze soll per Induktion über den Abstand d von n und k gehen.
>
Induktionsanfang:
> Wenn ich jetzt für d = 0 einsetze , als Anker kommt auf
> beiden Seiten 1 raus. Okay , stimmt.
Induktionsvoraussetzung:
für ein festes [mm] k\in \IN [/mm] und ein [mm] d\in \IN_0 [/mm] gelte
> [mm]\vektor{d+k \\ k}[/mm] = [mm]\summe_{m=k-1}^{d+k-1} \vektor{m \\ k-1}[/mm]
>
> IS:
> Jetzt soll ich ja zeigen, dass es
die Aussage auch
> für d+1 gilt,
also, wenn der Abstand von n und k nun d+1 beträgt, d.h. für n=... .
Zu zeigen ist also
[mm]\vektor{... \\ k}[/mm] = [mm]\summe_{m=k-1}^{...} \vektor{m \\ k-1}[/mm].
Wenn Du weißt, was zu zeigen ist, versuche, die linke Seite unter Verwendung der Induktionsvoraussetzung so lange umzuformen, bis die rechte Seite dasteht.
LG Angela
|
|
|
| |
|
Hallo,
kurz noch eine Frage, bevor ich mit dem IS anfange.
Ist $ [mm] \summe_{m=k-1}^{n-1} \vektor{m \\ k-1} [/mm] $
das gleiche wie [mm] \vektor{n-1 \\ k-1} [/mm] + [mm] \vektor{n-1 \\ k} [/mm] ?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:23 So 15.12.2013 | | Autor: | DieAcht |
> Hallo,
>
> kurz noch eine Frage, bevor ich mit dem IS anfange.
>
> Ist [mm]\summe_{m=k-1}^{n-1} \vektor{m \\ k-1}[/mm]
> das gleiche
> wie [mm]\vektor{n-1 \\ k-1}[/mm] + [mm]\vektor{n-1 \\ k}[/mm] ?
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
[mm] \summe_{m=k-1}^{n-1} \vektor{m \\ k-1}=\vektor{k-1 \\ k-1}+\vektor{k \\ k-1}+\vektor{k+1 \\ k-1}+\ldots+\vektor{n-1 \\ k-1}
[/mm]
Ich bin gespannt auf deinen Induktionsschritt.
DieAcht
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:10 So 15.12.2013 | | Autor: | pc_doctor |
Also , ich habe mal trotzdem weitergerechnet.
Ich habe ja als IV folgendes:
$ [mm] \vektor{d+k \\ k} [/mm] $ = $ [mm] \summe_{m=k-1}^{d+k-1} \vektor{m \\ k-1} [/mm] $
Abstand von n und k : d := n-k
IS: z.z gilt auch für d+1
Also,
d +k = n
d+k+1 = n
Also:
$ [mm] \vektor{d+k+1 \\ k} [/mm] $ = $ [mm] \summe_{m=k-1}^{d+k} \vektor{m \\ k-1} [/mm] $.
So , jetzt steht beim Binomialkoeffizienten
[mm] \vektor{d+k+1 \\ k}
[/mm]
Wie kann ich jetzt die IV hier mit "reinziehen".
Für [mm] \vektor{d+k \\ k} [/mm] gilt es ja nach IV..
Vielen Dank im Voraus.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:17 So 15.12.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
du fragst jeden einzelnen Schritt! Ich sehe keine Eigenleistung!
versuch doch mal was du über die Binomialkoeffizienten weißt anzuwenden.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
Was ich über den B.k weiß ist das hier:
[mm] \vektor{n \\ k} [/mm] = [mm] \bruch{n*(n-1)* ... *(n-k+1)}{k!}
[/mm]
Mehr weiß ich nicht , außer diesen Weg , ihn anders aufzuschreiben, aber das hilft mir nicht weiter. Ich weiß ja weiß ich zeigen will , nur ich weiß nicht , wie ich in den IS meine IV reinkriege.
|
|
|
| |
|
> Was ich über den B.k weiß ist das hier:
>
> [mm]\vektor{n \\ k}[/mm] = [mm]\bruch{n*(n-1)* ... *(n-k+1)}{k!}[/mm]
>
> Mehr weiß ich nicht ,
Hallo,
das ist zu wenig.
Du wirst nicht umhinkommen, das Thema Binomialkoeffizient nachzuarbeiten.
Um Deine Induktion zu einem guten Ende zu bringen, brauchst Du das Additionstheorem.
LG Angela
> außer diesen Weg , ihn anders
> aufzuschreiben, aber das hilft mir nicht weiter. Ich weiß
> ja weiß ich zeigen will , nur ich weiß nicht , wie ich in
> den IS meine IV reinkriege.
|
|
|
|
