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| Aufgabe | Zeigen Sie, dass die Ableitung eines Wiener-Prozesses [mm] W_{t} [/mm] im folgenden Sinne mit Wahrscheinlichkeit Null in einem endlichen Intervall [mm] [a,b]\subset\IR [/mm] gelegen ist.
[mm] \limes_{h\rightarrow 0}P(a\le\bruch{1}{h}(W_{t+h}-W_{t})\leb)=0 [/mm] |
Hallo an alle.
Ich muss gerade diese Aufgabe lösen und ehrlich gesagt habe ich keine Ahnung, wie ich das machen soll. Deshalb hoffe ich auf eure Hilfe...
Vielen Dank im Voraus.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:59 So 14.05.2006 | | Autor: | DirkG |
Beim Wiener-Prozss sind die Zuwächse [mm] $W_{t+h}-W_t$ [/mm] für $h>0$ normalverteilt mit Mittelwert 0 und Varianz $h$, damit ist dann [mm] $\frac{W_{t+h}-W_t}{h} \sim \mathcal{N}\left( 0, \frac{1}{h} \right)$, [/mm] und du kannst deine Wahrscheinlichkeit
$$P [mm] \left( a \leq \frac{W_{t+h}-W_t}{h} \leq b \right)$$
[/mm]
mit Hilfe der Verteilungfunktion [mm] $\Phi$ [/mm] der Standardnormalverteilung ausdrücken. Und der entsprechende Grenzwert [mm] $h\to [/mm] 0$ ist dann sehr einfach berechenbar.
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Ich habe jetzt erstmal angefangen, die Ungleichung innerhalb der Klammern umzuformen und komme dann auf
[mm] \limes_{h\rightarrow 0}P(ah \le W_{t+h}-W_{t}\le [/mm] hb)
Für [mm] h\rightarrow [/mm] 0 werden ja a*h und b*h auch 0. Kann ich dann gleich argumentieren, dass [mm] W_{t+h}-W_{t} [/mm] auch =0 ist, oder muss ich da noch mit reinbringen, dass [mm] W_{t+h}-W_{t} \mathcal{N}(0,t) [/mm] -verteilt ist und dann mit der Verteilungsfunktion arbeiten? Wenn ja, weiß ich nicht genau, wie ich das machen soll.
Kann mir nochmal jemand weiterhelfen?
Viele Grüße,
SoB.DarkAngel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:30 Sa 20.05.2006 | | Autor: | DirkG |
Liest du auch die Anworten? Offenbar nicht, denn in meiner letzten Antwort stehen alle wesentlichen Hinweise zur Berechnung dieser Wahrscheinlichkeit schon da.
Nein, es ist nicht [mm] $(W_{t+h}-W_t) \sim \mathcal{N}(0,t)$. [/mm] Sondern [mm] $(W_{t+h}-W_t) \sim \mathcal{N}(0,h)$, [/mm] wie ich oben geschriebe hatte. Oder in standardisierter Form: [mm] $\frac{W_{t+h}-W_t}{\sqrt{h}} \sim \mathcal{N}(0,1)$. [/mm] Also gilt für $h>0$:
$$P( ah [mm] \leq W_{t+h}-W_t \leq [/mm] bh ) = P [mm] \left( a\sqrt{h} \leq \frac{W_{t+h}-W_t}{\sqrt{h}} \leq b\sqrt{h} \right) [/mm] = [mm] \Phi(b\sqrt{h})-\Phi(a\sqrt{h})$$
[/mm]
Und davon nimmst du nun den Grenzwert für [mm] $h\searrow [/mm] 0$. Und der ist wegen der Stetigkeit der Verteilungsfunktion [mm] $\Phi$ [/mm] gleich [mm] $\Phi(0)-\Phi(0)=0$.
[/mm]
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