Winkel-Wege-Problem < Trigonometr. Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Klaus und Peter sind 100 Meter voneinander entfernt.
Klaus geht mit einer Geschwindigkeit von 1 m/s in einem Winkel Alpha = 60° (zur Direktverbindung Klaus - Peter).
Peter geht doppelt so schnell wie Klaus, aber er geht erst 20 Sekunden später los als Klaus.
Unter welchem Winkel Beta (zur Direktverbindung Klaus - Peter) muss Peter gehen, damit sich die beiden treffen?
|
Ich habe mir dazu folgende Skizze gemacht:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Folgende 3 Gleichungen kann ich aufstellen aufgrund der Geschwindigkeitsunterschiede bzw. nach dem Sinussatz:
1. Gleichung: 2y=x
2. Gleichung: [mm] \bruch{x}{sin60°}=\bruch{20+y}{sin\beta}
[/mm]
3. Gleichung: [mm] \bruch{100}{sin(120°-\beta)}=\bruch{x}{sin60°}
[/mm]
Drei Gleichungen mit drei Unbekannten sieht easy aus. Aber wenn ich System nach Beta auflöse, dann komme ich auf:
[mm] 50\wurzel{3}*sin\beta -10\wurzel{3}*sin(120°-\beta)=37.5
[/mm]
Da habe ich dann nur durch langes Probieren rausgekriegt, dass Beta etwa 39,08° ist.
Ist das überhaupt richtig? Gibt es da eventuell irgendwie einen anderen Lösungsweg??
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:04 Do 31.05.2007 | | Autor: | Marc |
Hallo rabilein1,
> Klaus und Peter sind 100 Meter voneinander entfernt.
> Klaus geht mit einer Geschwindigkeit von 1 m/s in einem
> Winkel Alpha = 60° (zur Direktverbindung Klaus - Peter).
> Peter geht doppelt so schnell wie Klaus, aber er geht erst
> 20 Sekunden später los als Klaus.
>
> Unter welchem Winkel Beta (zur Direktverbindung Klaus -
> Peter) muss Peter gehen, damit sich die beiden treffen?
>
> Ich habe mir dazu folgende Skizze gemacht:
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
> Folgende 3 Gleichungen kann ich aufstellen aufgrund der
> Geschwindigkeitsunterschiede bzw. nach dem Sinussatz:
>
> 1. Gleichung: 2y=x
>
> 2. Gleichung: [mm]\bruch{x}{sin60°}=\bruch{20+y}{sin\beta}[/mm]
>
> 3. Gleichung:
> [mm]\bruch{100}{sin(120°-\beta)}=\bruch{x}{sin60°}[/mm]
>
> Drei Gleichungen mit drei Unbekannten sieht easy aus.
> Aber wenn ich System nach Beta auflöse, dann komme ich
> auf:
>
> [mm]50\wurzel{3}*sin\beta -10\wurzel{3}*sin(120°-\beta)=37.5[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Wie Du darauf kommst, habe ich jetzt nicht sofort nachvollziehen können.
Wenn Du Gleichung richtig ist, könntest Du vielleicht $\sin(\alpha-\beta)=\sin(\alpha)\cos(\beta)-\cos(\alpha)\sin(\beta)$ anwenden, dann $\cos(\beta)=\wurzel{1-\sin^2(\beta)$ und anschließend $z:=\sin(\beta)$ substituieren. Dann ist es jedenfalls keine trigonometrische Gleichung mehr, überblick aber nicht, ob diese lösbar ist.
> Da habe ich dann nur durch langes Probieren rausgekriegt,
> dass Beta etwa 39,08° ist.
>
>
> Ist das überhaupt richtig?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Gibt es da eventuell irgendwie
> einen anderen Lösungsweg??
Es müsste doch auch mit dem Kosinussatz funktionieren:
$(2y)^2=100^2+(20+y)^2-2*100*(20+y)*\cos(60°)$
Das ist eine quadratische Gleichung und sollte lösbar sein 
Viele Grüße,
Marc
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:17 Do 31.05.2007 | | Autor: | Marc |
Hallo rabilein1,
> [mm](2y)^2=100^2+(20+y)^2-2*100*(20+y)*\cos(60°)[/mm]
>
> Das ist eine quadratische Gleichung und sollte lösbar sein
>
Und Deine Lösung kommt damit auch heraus:
[mm] $\gdw\ 4y^2=100^2+400+40y+y^2-2000-100y$
[/mm]
[mm] $\gdw\ 3y^2+60y-8400=0$
[/mm]
[mm] $\gdw\ y^2+20y-2800=0$
[/mm]
[mm] $\gdw\ y_{1,2}=-10\pm\wurzel{2900}$
[/mm]
Die positive Lösung für y lautet: [mm] $y=10*(\wurzel{29}-1)\approx [/mm] 43.85 m$
[mm] $\Rightarrow\ [/mm] y=87.70 m$
Sinussatz:
[mm] $\sin(\beta)=\bruch{y+20}{2y}*\sin(60°)\approx [/mm] 0.6305$
[mm] $\Rightarrow\ \beta\approx [/mm] 39.0872°$
Viele Grüße,
Marc
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:50 Do 31.05.2007 | | Autor: | rabilein1 |
Danke für den Tipp.
Ich bin auch noch auf eine andere Möglichkeit gekommen - ist eventuell ähnlich wie deine wegen Kosinussatz:
Und zwar habe ich das ursprüngliche Dreieck in 2 Dreiecke geteilt.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Mit Hilfe des Kosinussatzes kann ich die Strecke a berechnen. Dann lassen sich nach und nach alle Winkel in beiden Dreiecken mit dem Sinussatz berechnen. Am Ende muss man dann nur noch die Winkel zu Beta addieren
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:11 Do 31.05.2007 | | Autor: | Marc |
Hallo rabilein1,
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
> Mit Hilfe des Kosinussatzes kann ich die Strecke a
> berechnen.
> Dann lassen sich nach und nach alle Winkel in
> beiden Dreiecken mit dem Sinussatz berechnen.
Aber nur durch ein Gleichungssystem, oder? Durch direkte Anwendung des Sinussatzes kannst Du keinen weiteren Winkel ausrechnen.
So gesehen ist dieser Weg eher komplizierter, denn die Winkel und Längen im oberen Dreieck auszurechnen ist genauso schwierig wie die Winkel und Längen im ganzen Dreieck zu berechnen.
Viele Grüße,
Marc
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:51 Do 31.05.2007 | | Autor: | rabilein1 |
> ..., denn die Winkel und Längen im oberen Dreieck
> oberen Dreieck auszurechnen ist genauso schwierig wie
> die Winkel und Längen im ganzen Dreieck zu berechnen.
Ich wollte ja nur den Winkel Beta ausrechnen, und das ging schneller und einfacher als ich dachte. Weil nämlich beim Sinussatz [mm] \bruch{2y}{y} [/mm] anfällt und damit y quasi von allein rausfällt.
In der Mathematik führen oft viele Wege nach Rom - jedoch stets alle zum selben Ergebnis.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:31 Sa 02.06.2007 | | Autor: | riwe |
>
> In der Mathematik führen oft viele Wege nach Rom - jedoch
> stets alle zum selben Ergebnis.
ein hübscher weg nach rom ist auch dieser:
[mm] g_{KT}: \vec{x}=\frac{t}{2}\vektor{1\\\sqrt{3}}
[/mm]
[mm] g_{PT}: \vec{x}=\vektor{100\\0}+(t-20)\cdot\vektor{v_x\\v_y}
[/mm]
mit t... zeit in sec
[mm] |\vec{x}| [/mm] der in der zeit t zurückgelegte weg in m
schneiden der beiden geraden ergibt
[mm] v_x=\frac{t-200}{2(t-20)}
[/mm]
[mm] v_y=\frac{t\cdot\sqrt{3}}{2(t-20)}
[/mm]
und aus [mm] v_x ²+v_y²=4 [/mm] erhält man zur freude roms
[mm] t=10(1+\sqrt{29})
[/mm]
und aus
[mm]tan(\pi - \beta)=\frac{v_y}{v_x}\to\beta=39.09°[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:47 Sa 02.06.2007 | | Autor: | rabilein1 |
Danke. Das ist genial.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:01 So 03.06.2007 | | Autor: | riwe |
danke für die blumen
|
|
|
|
