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Forum "Vektoren" - Winkel berechnen
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Winkel berechnen: Quader
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:06 Do 25.06.2015
Autor: Jura86

Aufgabe
Berechnen Sie die Winkel, die die Diagonale eines Quaders zu einer Seitenfläche bzw. zu einer anliegenden Kante bildet. Welche Rolle spielt dabei die Kantenlänge des Quaders?




Ich habe bei dieser Aufgabe folgendes gemacht und wollte euch fragen ob alles richtig ist:

1. Punkte eines Quaders bestimmt / gewählt
A = (0,0,0)
B = (0,2,0)
C = (0,0,1)
E = (1,0,0)
H = (1,2,1)

2.  Vektoren dieser Punkte bestimmt
a = [mm] \overrightarrow{AE} [/mm] = E-A = [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0} [/mm]

b = [mm] \overrightarrow{AB} [/mm] = B-A = [mm] \vektor{0 \\ 2 \\ 0} [/mm]

c = [mm] \overrightarrow{AC} [/mm] = C-A = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 1} [/mm]


d = [mm] \overrightarrow{AH} [/mm] = H-A = [mm] \vektor{1 \\ 2 \\ 1} [/mm]


3. Winkel zwischen den Vektoren berechnet :

     Skalarprodukte: a*d = 1
                             b*d = 4
                             c*d = 1
     Beträge :|a|  = 1
                   |b|  = 2
                   |c|  = 1
                   |d|  = [mm] \wurzel{6} [/mm]

4. Winkel zwischen Vektoren:

a und d = 65,92°
b und d = 35,32°
c und d = 65,92°


Ist das alles richtig so ?

[Diese Frage habe ich in keinen anderen Forum gestellt]

        
Bezug
Winkel berechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:23 Do 25.06.2015
Autor: M.Rex

Hallo
> Berechnen Sie die Winkel, die die Diagonale eines Quaders
> zu einer Seitenfläche bzw. zu einer anliegenden Kante
> bildet. Welche Rolle spielt dabei die Kantenlänge des
> Quaders?

>
>
>

> Ich habe bei dieser Aufgabe folgendes gemacht und wollte
> euch fragen ob alles richtig ist:

>

> 1. Punkte eines Quaders bestimmt / gewählt
> A = (0,0,0)
> B = (0,2,0)
> C = (0,0,1)
> E = (1,0,0)
> H = (1,2,1)

>

> 2. Vektoren dieser Punkte bestimmt
> a = [mm]\overrightarrow{AE}[/mm] = E-A = [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 0}[/mm]

>

> b = [mm]\overrightarrow{AB}[/mm] = B-A = [mm]\vektor{0 \\ 2 \\ 0}[/mm]

>

> c = [mm]\overrightarrow{AC}[/mm] = C-A = [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 1}[/mm]

>
>

> d = [mm]\overrightarrow{AH}[/mm] = H-A = [mm]\vektor{1 \\ 2 \\ 1}[/mm]

>
>

> 3. Winkel zwischen den Vektoren berechnet :

>

> Skalarprodukte: a*d = 1
> b*d = 4
> c*d = 1
> Beträge :|a| = 1
> |b| = 2
> |c| = 1
> |d| = [mm]\wurzel{6}[/mm]

>

> 4. Winkel zwischen Vektoren:

>

> a und d = 65,92°
> b und d = 35,32°
> c und d = 65,92°

>
>

> Ist das alles richtig so ?

Für diesen speziellen Quader sicherlich, mache das aber am besten allgemein.
>

> [Diese Frage habe ich in keinen anderen Forum gestellt]

Wenn du den Punkt A in den Ursprung legst, und der Quader die Breite b, die Tiefe t und die Höhe h hat, gilt für die Eckpunkte:

A(0|0|0)
B(b|0|0)
C(b|t|0)
D(0|t|0)
E(0|0|h)
f(b|0|h)
G(b|t|h)
H(0|t|h)

Die Raumdiagonale ist der Vektor [mm] \overrightarrow{AG} [/mm]

Bilde nun die Schnittwinkel der Vektoren [mm] \overrightarrow{AB} [/mm] und [mm] \overrightarrow{AG} [/mm]
sowie
[mm] \overrightarrow{AD} [/mm] und [mm] \overrightarrow{AG} [/mm]
und zuletzt
[mm] \overrightarrow{AE} [/mm] und [mm] \overrightarrow{AG} [/mm]

Marius

Bezug
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