Winkel im Dreieck < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:04 Mi 01.06.2011 | | Autor: | meso |
| Aufgabe | Seien [mm] \alpha [/mm] , [mm] \beta [/mm] , [mm] \gamma [/mm] die Winkel eines rechtwinkligen Dreiecks. Man zeige, dass dann:
[mm] sin(\alpha)*sin(\beta)*sin(\alpha-\beta) [/mm] + [mm] sin(\beta)*sin(\gamma)*sin(\beta-\gamma) [/mm] + [mm] sin(\gamma)*sin(\alpha)*sin(\gamma-\alpha) [/mm] + [mm] sin(\alpha-\beta)*sin(\beta-\gamma)*sin(\gamma-\alpha)=0 [/mm] |
Hallo!
In einem rechtwinkligem Dreieck ist ja die Summe der Basiswinkel =90°. Ich habe dann angenommen das [mm] \gamma [/mm] = 90° und somit ist [mm] \gamma=\alpha+\beta. [/mm] Ich habe dann in der Aufgabe [mm] \gamma [/mm] mit [mm] \alpha+\beta [/mm] ersetzt und die Summensätze angewendet und habe dann herausbekommen, dass der ganze Ausdruck 0 wird wie in der Aufgabe. Ich habe das mit allen drei Winkeln gemacht. Ist das Beweis genug? Oder gibt es da noch einen anderen Weg?
Weiters sollen wir das geometrisch berechnen bzw. die Lösung geometrisch interpretieren. Hat jemand eine Idee wie ich das machen könnte. (Ich habe versucht das ganze im Einheitskreis zu machen bin aber nicht wirklich weitergekommen).
Vielen Dank
Meso
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:32 Mi 01.06.2011 | | Autor: | abakus |
> Seien [mm]\alpha[/mm] , [mm]\beta[/mm] , [mm]\gamma[/mm] die Winkel eines
> rechtwinkligen Dreiecks. Man zeige, dass dann:
> [mm]sin(\alpha)*sin(\beta)*sin(\alpha-\beta)[/mm] +
> [mm]sin(\beta)*sin(\gamma)*sin(\beta-\gamma)[/mm] +
> [mm]sin(\gamma)*sin(\alpha)*sin(\gamma-\alpha)[/mm] +
> [mm]sin(\alpha-\beta)*sin(\beta-\gamma)*sin(\gamma-\alpha)=0[/mm]
>
> Hallo!
>
> In einem rechtwinkligem Dreieck ist ja die Summe der
> Basiswinkel =90°. Ich habe dann angenommen das [mm]\gamma[/mm] =
> 90° und somit ist [mm]\gamma=\alpha+\beta.[/mm] Ich habe dann in
> der Aufgabe [mm]\gamma[/mm] mit [mm]\alpha+\beta[/mm] ersetzt und die
> Summensätze angewendet und habe dann herausbekommen, dass
> der ganze Ausdruck 0 wird wie in der Aufgabe. Ich habe das
> mit allen drei Winkeln gemacht. Ist das Beweis genug? Oder
> gibt es da noch einen anderen Weg?
> Weiters sollen wir das geometrisch berechnen bzw. die
> Lösung geometrisch interpretieren. Hat jemand eine Idee
> wie ich das machen könnte. (Ich habe versucht das ganze im
> Einheitskreis zu machen bin aber nicht wirklich
> weitergekommen).
> Vielen Dank
>
> Meso
Hallo,
sei [mm] \gamma [/mm] der 90°-Winkel.
Dann gilt z.B. [mm] sin(\beta-\gamma)=sin(\beta- 90°)=-cos\beta
[/mm]
und
[mm] sin(\gamma-\alpha)=sin(90°-\alpha)=cos\alpha.
[/mm]
Geeegnetes Zusammenfassen von je 2 der 4 gegebenen Produkte führt zu Additionstheoremen für sin bzw cos.
Gruß Abakus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:42 Mi 01.06.2011 | | Autor: | meso |
hallo
ja ok das ist mir klar aber soll dann die geometrische interpretation ein beweis für die summensätze sein?
und noch eine frage: genügt es wenn ich für den beweis wie ich oben beschrieben habe rechne und mir dann 0=0 herauskommt?
liebe grüße
meso
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:44 Do 02.06.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
>$ [mm] sin(\alpha)\cdot{}sin(\beta)\cdot{}sin(\alpha-\beta) [/mm] $ +
> $ [mm] sin(\beta)\cdot{}sin(\gamma)\cdot{}sin(\beta-\gamma) [/mm] $ +
> $ [mm] sin(\gamma)\cdot{}sin(\alpha)\cdot{}sin(\gamma-\alpha) [/mm] $ +
> $ [mm] sin(\alpha-\beta)\cdot{}sin(\beta-\gamma)\cdot{}sin(\gamma-\alpha)=0 [/mm] $
einen der Winkel 90° gestzt
führt doch auf [mm] sin(\alpha)\cdot{}sin(\beta)\cdot{}sin(\alpha-\beta)-sin(\alpha)\cdot{}sin(\beta)\cdot{}sin(\alpha-\beta)
[/mm]
erst + letzte Zeile
[mm] -sin(\beta)\cdot{}sin(\alpha)+sin(\alpha)\cdot{}sin(\beta) [/mm]
also keinerlei Umformungen aussser der geometrischen: [mm] \gamma-\beta=\alpha
[/mm]
und [mm] \alpha-\gamma=-\beta [/mm]
dann nur noch sin(-a)=-sin(a)
Wenn du willst nimm ein Dreieck mit Hypüthenuse c=1 dann hast du einmal den positiven Flächeninhal ab, einmal den negativen, einmal Flache [mm] ab*(a^2-b^2) [/mm] einmal das negative. ich find das aber nicht geometrischer!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:24 Sa 04.06.2011 | | Autor: | meso |
hallo
ich hab das jetzt nicht ganz verstanden wie du die Lösung geometrisch interpretierst.
Kann ich so vorgehen.
Ich zeichne mir den Enheitskreis und im ersten Quadranten zwei Winkel /alpha und /beta die zusammen 90° sind. Dann ist die Länge des sin(/alpha) ja die Gegenkathete. Verschiebe ich nun die Koordinatenachsen so, dass die x- Achse genau die Grundlinie ist von der der zweite Winkel /beta starten, und zeichne mir wieder den sin ein, kann ich dann sagen, dass dann die Länge der Geraden (Gegenkathete von winkel (/alpha) also die Veranschaulichung vom sin im Einheitskreis) vom sin(/alpha) geich lang ist wie die Länge des cos(/beta) (immer wenn die Koordinatenachse entsprechend gedreht bzw. verschoben ist?
Dann könnte ich ja mit den Flächen der Dreiecke argumentieren.
grüße
Meso
PS: ich hoffe ich habe es verständlich ausgedrückt
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Moin meso,
wenn du so nett fragst, dann werde ich auch hier versuchen, dir eine Antwort zu geben. 
> Kann ich so vorgehen.
> Ich zeichne mir den Enheitskreis und im ersten Quadranten
> zwei Winkel /alpha und /beta die zusammen 90° sind. Dann
> ist die Länge des sin(/alpha) ja die Gegenkathete.
> Verschiebe ich nun die Koordinatenachsen so, dass die x-
> Achse genau die Grundlinie ist von der der zweite Winkel
> /beta starten, und zeichne mir wieder den sin ein, kann ich
> dann sagen, dass dann die Länge der Geraden (Gegenkathete
> von winkel (/alpha) also die Veranschaulichung vom sin im
> Einheitskreis) vom sin(/alpha) geich lang ist wie die
> Länge des cos(/beta) (immer wenn die Koordinatenachse
> entsprechend gedreht bzw. verschoben ist?
>
> Dann könnte ich ja mit den Flächen der Dreiecke argumentieren.
Deine Beschreibung ist etwas vage, deine Gedanken für eine anschauliche Interpretation klingen aber schon gut.
Wenn man mal die Ersetzungen von abakus vornimmt, steht da:
[mm] \sin\alpha\sin\beta\sin(\alpha-\beta)-\sin\beta\sin\gamma\cos\beta+\sin\gamma\sin\alpha\cos\alpha-\sin(\alpha-\beta)\cos\beta\cos\alpha,
[/mm]
wobei [mm] \sin\gamma=\sin(90°)=1. [/mm] Also:
[mm] \sin\alpha\sin\beta\sin(\alpha-\beta)-\sin\beta\cos\beta+\sin\alpha\cos\alpha-\sin(\alpha-\beta)\cos\beta\cos\alpha.
[/mm]
Nun kannst du mit deiner Argumentation am Einheitskreis überlegen, dass [mm] \sin\alpha=\cos\beta [/mm] und [mm] \sin\beta=\cos\beta.
[/mm]
Es folgt also [mm] \sin\alpha\cos\alpha-\sin\beta\cos\beta=0 [/mm] (das kannst du auch am Einheitskreis veranschaulichen). Ebenso gilt [mm] \sin\alpha\sin\beta-\cos\alpha\cos\beta=0.
[/mm]
LG
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 15:18 Sa 04.06.2011 | | Autor: | meso |
hallo
danke!
was ich noch fragen wollt ist er hat ja geschrieben [mm] a*b*(a^2-b^2) [/mm] also wenn ich am einheitskreis den sin(/alpha)= a und sin(/beta)=b nehme dann muss ja [mm] (a^2-b^2)=sin(/alpha-/beta) [/mm] sein oder? aber ich versteh nicht ganz wie ich das im einheitskreis argumentiere.
glg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:20 Mo 06.06.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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