Winkel im Kreis in Abhängigkei < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es seien K1 und K2 zwei Kreise die sich in den Punkten A und C schneiden. Desweiteren sei bekannt, dass K2 durch den Mittelpunkt M1 des Kreises K1 verläuft. B sei ein weitere Punkt auf K1. Die Gerade AB schneide den Kreis K2 neben A in einem weiteren Punkt Q. Der Winkel ∠ABC werde mit [mm] \beta [/mm] bezeichnet.
a) Bestimmen Sie den Winkel ∠BQC = [mm] \delta [/mm] in Abhängigkeit von [mm] \beta
[/mm]
b) Bestimmen Sie alle Winkel im Dreieck BCQ in Abhängigkeit von [mm] \beta.
[/mm]
Was fällt Ihnen bei diesem Dreieck auf; Insbesondere bzgl. der Seiten BQ und CQ ? |
Guten Tag,
zu der angegebenen Aufgabe habe ich mal eine Skizze angefertigt:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Ich habe erkannt, dass nach dem Zentriwinkel-Peripheriewinkelsatz der Zentriwinkel bei M1 [mm] 2\beta [/mm] betragen müsste und habe auch wirklich sehr lange herumgefuchtelt, komme aber auf kein Ergebnis, d.h. mein [mm] \delta [/mm] ist neben [mm] \beta [/mm] auch immer von mindestens einem weiteren Winkel abhängig. Was ich noch versucht habe, ist, das Dreieck ACQ in ein Sehnenviereck auf dem Kreis K2 zu erweitern. Das lieferte mir einige weitere Winkel, die den vorhandenen entsprechen, aber hat mich nicht weitergebracht?
Könnte man mir bitte mit der Aufgabe helfen?
Gruß
Dateianhänge:
Anhang Nr. 2 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:55 So 17.08.2014 | | Autor: | Diophant |
Hallo,
ich habe da so ein, zwei Verständnisprobleme bei dieser Aufgabe:
> Es seien K1 und K2 zwei Kreise die sich in den Punkten A
> und C schneiden. Desweiteren sei bekannt, dass K2 durch den
> Mittelpunkt M1 des Kreises K1 verläuft. B sei ein weitere
> Punkt auf K1.
Ah, Punkt 1 hat sioch damit geklärt. Als ich deine Frage aufgerufen habe, stand da noch ein kjleines k an Stelle von K1.
> Die Gerade AB schneide den Kreis K2 neben A
> in einem weiteren Punkt Q. Der Winkel ∠ABC werde mit
> [mm]\beta[/mm] bezeichnet.
> a) Bestimmen Sie den Winkel ∠BQC = [mm]\delta[/mm] in
> Abhängigkeit von [mm]\beta[/mm]
> b) Bestimmen Sie alle Winkel im Dreieck BCQ in
> Abhängigkeit von [mm]\beta.[/mm]
Heißt das wirklich in Abhängigkeit von [mm] \beta? [/mm] Denn der Winkel [mm] \beta [/mm] sollte doch unabhängig von der Wahl von B nach dem Peripheriewinkelsatz konstant sein?
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:23 So 17.08.2014 | | Autor: | imagemixer |
Hallo,
will die Aufgabe nicht verteidigen, aber die Aufgabenstellung dürfte schon korrekt sein. Auch wenn [mm] \beta [/mm] konstant ist, sollte man doch die anderen Winkeln in Abhängigkeit dazu setzen können.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:26 So 17.08.2014 | | Autor: | Diophant |
Hallo,
> will die Aufgabe nicht verteidigen, aber die
> Aufgabenstellung dürfte schon korrekt sein. Auch wenn
> [mm]\beta[/mm] konstant ist, sollte man doch die anderen Winkeln in
> Abhängigkeit dazu setzen können.
du musst sie nicht verteidigen. Ich habe nur zur Sicherheit nachgefragt. Die Aufgabe macht schon Sinn, und die Feststellung, dass [mm] \beta [/mm] bei einmal gewähltem Radius für K1 konstant ist, ist ja dann schon ein Hinweis darauf, was das Dreieck BQC so macht, wenn man B entlang K2 verschiebt...
Eine Antwort erfolgt ja übrigens gerade.
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:24 So 17.08.2014 | | Autor: | rmix22 |
> Es seien K1 und K2 zwei Kreise die sich in den Punkten A
> und C schneiden. Desweiteren sei bekannt, dass K2 durch den
> Mittelpunkt M1 des Kreises K1 verläuft. B sei ein weitere
> Punkt auf K1. Die Gerade AB schneide den Kreis K2 neben A
> in einem weiteren Punkt Q. Der Winkel ∠ABC werde mit
> [mm]\beta[/mm] bezeichnet.
> a) Bestimmen Sie den Winkel ∠BQC = [mm]\delta[/mm] in
> Abhängigkeit von [mm]\beta[/mm]
> b) Bestimmen Sie alle Winkel im Dreieck BCQ in
> Abhängigkeit von [mm]\beta.[/mm]
> Was fällt Ihnen bei diesem Dreieck auf; Insbesondere
> bzgl. der Seiten BQ und CQ ?
>
>
> Guten Tag,
>
> zu der angegebenen Aufgabe habe ich mal eine Skizze
> angefertigt:>
>
> Ich habe erkannt, dass nach dem
> Zentriwinkel-Peripheriewinkelsatz der Zentriwinkel bei M1
> [mm]2\beta[/mm] betragen müsste
Ja, das ist eine grundlegende Eigenschaft. Der besseren Übersicht wegen ist es hier vermutlich günstiger, die Skizze so anzufertigen, dass der Radius von K1 größer als jener von K2 ist - dann ist [mm] 2*\beta [/mm] kein erhabener Winkel und die Zusammenhänge sind leichter zu sehen. Es ist nun der Winkel [mm] $\angle{A}{M_1}C=2*\beta$ [/mm] und $Q$ und [mm] $M_1$ [/mm] sind beides Punkte auf demselben Peripheriewinkelbogen über [mm] \overline{AC}. [/mm] Somit kennst du auch [mm] $\angle{A}{Q}C$ [/mm] und als Supplementärwinkel letztlich auch [mm] $\angle{B}{Q}C$.
[/mm]
Die restlichen Fragen sind, wenn a) erledigt ist, sehr leicht zu beantworten.
Gruß RMix.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:47 So 17.08.2014 | | Autor: | imagemixer |
Hallo,
ah wie schön. Dann ist das Dreieck BCQ gleichschenklig. Mit deinem Tipp war es wirklich einfach.
Danke!
Gruß
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:50 So 17.08.2014 | | Autor: | rmix22 |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eine weitere, sicher nicht beabsichtigte und vermutlich auch nicht gewünschte einfache Lösungsmöglichkeit ergibt sich aus der Formulierung der Fragestellung. $\beta$ ist aufgrund der Peripheriebogeneigenschaft konstant und unabhängig von der Wahl von $Q$. Laut Fragestellung ist $\delta$ nur von $\beta$ abhängig, also ebenfalls unabhängig von der Wahl von $Q$. Wir können daher durchaus auch $Q=M_1$ wählen. $\Delta[ABC}$ ist jetzt ein rechtwinkeliges Dreieck, $Q=M_1$ ist der Halbierungspunkt der Hypothenuse und das Dreieck $\Delta{BQC}$ ist gleichschenkelig. Daraus folgt sofort $\delta=180^\circ{-2*\beta}$
RMix
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:57 So 17.08.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
der Winkel [mm] \beta [/mm] hängt von dem Verhältnis der Radien ab.z.B für r1=r2 [mm] \beta=129° \delta=60°. [/mm] bei keinem anderen Radienverhältnis ist [mm] \delta=\beta/2
[/mm]
also musst du auch das Radienverhältnis in deiner Formel haben. Zeichne noch die Radien
M1A und M1C ein. Da [mm] \delta [/mm] und [mm] \beta [/mm] beides Perepheriewinkel in K1 und K2 sind kannst du B einfach auf M1M2 legen, dann wird die Zeichnung einfacher!
[Dateianhang nicht öffentlich]
Gruß leduart
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:11 So 17.08.2014 | | Autor: | rmix22 |
> Hallo
> der Winkel [mm]\beta[/mm] hängt von dem Verhältnis der Radien
> ab.z.B für r1=r2 [mm]\beta=120°° \delta=60°.[/mm] bei keinem
> anderen Radienverhältnis ist [mm]\delta=\beta/2[/mm]
Das vielleicht nicht, aber [mm] $\delta=|{180^\circ-2*\beta}|$ [/mm] sollte doch immer hinkommen.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:04 So 17.08.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
Danke, du hast natürlich recht.
Gruß leduart
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