Winkel zw. zwei Koordinaten < Vektoren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:33 So 17.10.2010 | | Autor: | Dui-Ti |
| Aufgabe | | Gegeben sind die Vektoren [mm] \vec{a} [/mm] = [mm] \vektor{4 \\ 4 \\ 2} [/mm] und [mm] \vec{b} [/mm] = [mm] \vektor{6 \\ 0 \\ z}. [/mm] Wie muss die Koordinate z gewählt werden, damit der Winkel [mm] \gamma [/mm] zwischen [mm] \vec{a} [/mm] und [mm] \vec{b} [/mm] eine Größe von 45° hat? |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Also...ich habe die Formel: [mm] cos\gamma [/mm] = [mm] \bruch{\vec{a}*\vec{b}}{|\vec{a}|*|\vec{b}|} [/mm] angwandt und komme auf folgendes:
cos45° = [mm] \bruch{24 + 2z}{\wurzel{36}*\wurzel{36+z^{2}}}
[/mm]
Ich habe das dann umgestellt und mithilfe der p,q-Formel aufgelöst.
Einer der beiden Werte ist annähernd dran, während der andere meilenweit entfernt ist. Müssen beide stimmen? Bzw. Ist das überhaupt der richtige Lösungsansatz oder bin ich völlig auf dem falschen Dampfer?
Danke schon mal im Voraus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:07 So 17.10.2010 | | Autor: | Dui-Ti |
Ja stimmt...wo du es sagst ;) also nimmt man dann nur eine der beiden Lösungen?
Kannst du vielleicht mal kurz rüber schauen? Wäre nett:
[mm] cos\gamma [/mm] = [mm] \bruch{24 + 2z}{6*\wurzel{36+z^2}}
[/mm]
[mm] cos\gamma *6*\wurzel{36+z^2} [/mm] = 24 + 2z [mm] |()^2
[/mm]
[mm] (cos\gamma)^2 *36*(36+z^2) [/mm] = 576 + 96z + [mm] 4z^2
[/mm]
für cos45° [mm] \approx [/mm] 0,7071
647,9876 + [mm] 17,9997z^2 [/mm] = 576 + 96z + [mm] 4z^2
[/mm]
[mm] 13,9997z^2 [/mm] - 96z +71,9876 = 0
[mm] z^2 [/mm] - 6,8573z + 5,1421= 0
p,q-Formel angewandt:
[mm] z_1_/_2 [/mm] = - 3,4287 +/- [mm] \wurzel{11,756 - 5,1421}
[/mm]
[mm] z_1 [/mm] = - 3,4287 + 2,5718 = -0,8569
[mm] z_2 [/mm] = - 3,4287 - 2,5718 = - 6,0005
mit [mm] z_1 [/mm] bin ich annähernd dran. Da kommt bei der Probe 0,7224 heraus. die Frage ist jetzt:
Stimmt das so und ich habe die Abweichung nur durch das Runden...sollte man das dann lieber lassen und lasse ich den [mm] z_2-Wert [/mm] dann einfach weg???
Vielen Dank schon mal.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:25 So 17.10.2010 | | Autor: | ONeill |
Hi!
Ich komme auf ein etwas anderes Ergebnis. Rechne das mal konsequent mit dem cosinus durch, dann sparst Du Dir die Rundungsfehler.
Gruß Christian
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:30 So 17.10.2010 | | Autor: | Dui-Ti |
Ok...das habe ich mir schon gedacht...aber die Rechnung an sich stimmt dann? Es liegt also wirklich nur an der Rundung?
Was ich nicht verstehe ist nur, dass die zweite z-Lösung so dermaßen daneben liegt. Meiner Meinung nach müssten beide p,q-Formel-Ergebnisse zu einer korrekten Lösung führen.. oder irre ich mich da? Darf ich mir einfach die richtige Lösung aussuchen und die andere vernachlässigen?
herzlichsten dank!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:38 Mo 18.10.2010 | | Autor: | Sax |
Hi,
selbstverständlich gibt es zwei Lösungen.
Alle Vektoren, die mit [mm] \vec{a} [/mm] den Winkel [mm] \gamma [/mm] bilden, liegen auf einem Kegelmantel, die Vetoren [mm] \vec{b} [/mm] auf einer Geraden. Die Gerade schneidet den Kegel zweimal.
Gruß Sax.
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